Full text of "Catalog mathematischer Modelle für den höheren mathematischen Unterricht, veröffentlicht durch ..."

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Catalog

mathematischer Modelle

für den höheren mathematischen Unterricht

ver

ö^entHcht

durch die Verlagshandlung

von

Martin Schilling m Halle a. S.

Sechste Auflage.

Halle a. S.
1908«

l\Ao3ckH^ooy.o^

FEB 4 1903

'"PPIDGE,^

N"^"!;

^Aiu f xA-i--«-*^\>Ay

Vorwort.

Die ersten Anfänge des Verlages, der bis zu dem im Juli
1899 erfolgten Übergange in unsern Besitz unter der Firma L. Brill
in Darmstadt geführt wurde, reichen in das Jahr 1877 zurück.
Sie verdanken ihr Entstehen der thätigen Anregung der Herren
Professoren Brill und Klein, die zu jener Zeit an der technischen
Hochschule in München wirkten und unter deren Leitung Studierende
im Anschluss an die Lösung von Aufgaben aus der höheren Mathe-
matik sich in der Herstellung von mathematischen Modellen ver-
suchten. Auf diese Weise ergaben sich die Serien I, II, V, VIII,
die Nummern 6 der Serie VI und 4, 6 und 8 — 14 der Serie X.
Diese Modelle wie die durch sie veranschaulichten Probleme gehören
inhaltlich den verschiedensten Gebieten mathematischen Denkens
an. Dagegen war es möglich, die weiteren Serien, deren Heraus-
gabe der wissenschaftlichen Mitarbeit der Herren Professoren Dyck,
Finsterwalder, Kummer, Rodenberg, Rohn, Schoenflies,
H. A. Schwarz, Chr. und H. Wiener und anderen zu ver-
danken ist, einheitlicher zu gestalten.

Wenn wir nun jetzt nach mehr als dreijährigem Bestehen des
Verlages unter der neuen Firma Martin Schilling in Halle a. S.
die sechste erweiterte und gegen die früheren wesentlich über-
sichtlicher gestaltete Auflage unseres ausführlichen Kataloges heraus-
geben, so hoffen wir, durch die in dieser letzten Zeit veröffentlichten
neuen Serien gezeigt zu haben, wie sehr auch uns die stete gedeih-
liche Entwickelung des längst allgemein anerkannten eigenartigen
Unternehmens am Herzen liegt. Freilich wäre dieser Erfolg nicht
möglich gewesen, wenn uns nicht von Seiten der mathematischen
Kreise ein aussergewöhnliches Interesse entgegengebracht wäre ;
wir möchten daher nicht unterlassen, auch an dieser Stelle vor
allem den verehrten Autoren zu danken, die uns bei unseren auf

die Erweiterung' des Verlages g-erichteten Bestrebungen in selbst-
loser Weise unterstützt haben. Wir nennen die Herren Geheimrat
Professor Dr. Hauck in Berlin, Professor Dr. H. Wiener in
Darmstadt, Professor Dr. O. Wiener in Leipzig, Dr. Grassmann
in Halle a. S. und Dr. Ludwig in Karlsruhe; wir gedenken im
besonderen unseres wissenschaftlichen Beraters, des Herrn Professors
Dr. Fr. Schilling in Göttingen, der abgesehen von der Be-
reicherung unserer Sammlung durch neue Modelle uns in dankens-
werter Weise stets gern mit Rat und That zur Seite gestanden hat.

So ist im Laufe der verflossenen 25 Jahre eine reichhaltige
Sammlung von wissenschaftlichen Anschauungsmitteln entstanden,
die, dem bisherigen Erfolge entsprechend, hoffen lässt, auch fernerhin
zur Belebung aller Zweige des höheren mathematischen Unterrichts
an den Universitäten, technischen Hochschulen, Bergakademien und
ähnlichen Bildungsanstalten an ihrem Teile wirksam beizutragen.

Der erste Teil des Katalogs führt die Modelle in der
Reihenfolge ihrer Veröffentlichung auf und ermöglicht
eine schnelle Orientierung über die Zeit der Entstehung und über
die Urheber der einzelnen Serien und Nummern. Er giebt am
besten Aufschluss über die bequemste Form des Bezuges der
Modelle, über ihre Preise imd deren Ermässigung bei Bestellung
ganzer Serien.

Der z w e i t e Teil enthält eine systematische An-
ordnung der Modelle und gewährt somit einen Überblick über
das in den einzelnen mathematischen und physikalischen Wissens-
zweigen Gebotene. Er hebt die charakteristischen Merkmale der
verwandten Modelle aus den verschiedenen Serien hervor und soll
vornehmlich dem Fachmanne die Aufgabe erleichtern, die für seine
speciellen Zwecke gewünschten, insbesondere die für die einzelnen
Vorlesungen geeigneten Modelle aufzufinden. Dieser Teil eignet
sich also vorzugsweise auch zum Studium für solche Mathe-
matiker, die in das Verständnis der einzelnen Modell-
gruppen eindringen wollen.

Um beide Teile besser aufeinander beziehen zu können, ist
in dem sogleich folgenden ausführlichen Inhaltsverzeichnisse bei den
Serien und Nummern des ersten Teiles die Seitenzahl angegeben,
wo die Modelle im zweiten Teil zu finden sind.

Durch diesen neuen Katalog werden die älteren Ausgaben
ungültig.

Unser Ziel wird es sein, mit stetem Eifer auch fernerhin an
der Weiterentwickelung unseres wissenschaftlichen Unternehmens
zu arbeiten. Nach wie vor werden wir der Herausgabe von Mo-
dellen der reinen Mathematik, insbesondere der Theorie der Raum-
curven und Flächen und der Functionentheorie, beides im weitesten
Sinne genommen, unsere vernehmlichste Sorge zuwenden; sodann
aber möchten wir auch der angewandten Mathematik, insbesondere
der Technik, unsere Aufmerksamkeit widmen. Wir denken hier
an die Disciplinen der darstellenden Geometrie, der technischen
und theoretischen Mechanik einschliesslich der Kinematik und
Festigkeitslehre (Elasticitätstheorie), der verschiedenen Zweige der
mathematischen Physik, der Elektrotechnik sowie des Maschinen-
baues überhaupt, soweit hier ein mathematischer Gedanke hervor-
leuchtet. Wir werden dankbar sein für jede Anregung, die uns
aus dem Kreise der Fachgelehrten zu Teil wird, und Wünsche nach
bestimmten Modellen, um deren Äusserung wir im Interesse der
Sache ergebenst bitten, nach Möglichkeit berücksichtigen.

Und so übergeben wir denn diesen neuen Katalog, der
Zeugnis davon ablegt, welche Bedeutung das mathematische Modell
als belebendes und das Verständnis des Vortrages förderndes Element
bei den Vorlesungen gewonnen hat, der mathematischen Welt in
der zuversichtlichen Hoffnung, damit den Kreis der Gönner und
Freunde unseres Unternehmens wiederum zu erweitern, und mit
der ergebenen Bitte, nun auch unseren Bestrebungen durch umfang-
reiche Bestellungen die wünschenswerte Förderung angedeihen zu
lassen.

Halle a. S., Ende 1902.

Martin Schilling

Verlagsbuchhandlung.

Vorbemerkungen.

Bei Bestellungen genügt die Angabe der Serie und Nummer,
eventuell auch noch des Preises. Die Verpackung der Modelle
geschieht aufs sorgfältigste, und die Emballage wird aufs billigste
berechnet. Allgemein gültige Sätze lassen sich hierfür leider nicht
aufstellen, die Höhe der Kosten richtet sich vielmehr danach, wie
sich die einzelnen Modelle zusammenpacken lassen, ohne Schaden
zu leiden. Um einen ungefähren Anhalt zu geben, sei bemerkt,
dass die Verpackung beispielsweise für die vollständige Serie I
(Preis Mk. 60.—) 8 Mk., für Serie II (Preis Mk. 120.—) 10 Mk.
beträgt.

Besondere Wünsche, auch in Betreff der Zahlung werden gern
in weitestem Masse berücksichtigt.

Inhaltsverzeichnis.

Teil I.

Anordnung der Modelle nach Serien.

Teü

Seite

))

»}

Cartonmodelle. Flächen 2. Ordnung nach A. Brill.

Nr. l,2.Emp8oide

3. Binsohaliges Hyperboloid

4. Zweiflclialiges „

5. Elliptisches Paraboloid

6. Hyperbolisches „

7. Kegel

Serie I. Gipsmodelle nach Originalen des mathematischen
Instituts der kgl. technischen Hochschule MQnchen

(1. Folge).

Nr. 1. Rotationsfläche der Tractrix ....

2. Brennflache eines Strahlensystems .

3. Oentraflftche des einschaligen Hyperboloids

4. Geod&tische Linien anf dem Rotationsellipsoid

5. Geod&tische Linien durch die Nabelpunkte
des dreiazigen Ellipsoids

Serie II. Gipsmodelle nach Originalen der techn. Hochschule
München (2. Folge).

Nr. 1. Kummersche Flftche

„ 2. Flache 3. Ordnung

3. Rotationsflachen constanter mitÜerer Erum-

mung

3
3
3
3

5
5

4,5. Rotationsflachen von constantem negativen

Erfimmungsmass 5, 6

6. Bahncurve eines schweren Punktes auf

einer Engel . . « * * • * 6

II. Teil

Nr.

6,7
13
21
25
32
37

210
112-114
115-117

193

194

89-91
192

217-220

208,209

281

VIII

iDhaltayeneichnis.

I. Teil n. Teil

Seite Nr.

Serie in. Gipsmodelle von Flächen 2. Ordnung.

Nr. 1, 3. Ellipsoide 7 2, 3

„ 2, 4. „ mit ErümmnDgslinieD . 7 158, 159

„ 5, 6. Einschalige Hyperboloide ... 7 10, 11
„ 7. Einschaliges Hyperboloid mit Erüm-

muDgslinien 7 166

„ 8. Zweischaliges Hyperboloid ... 7 18
„ 9. „ „ mit Eröm-

muDgsliDien 7 168

„ 10, 11. Elliptische Paraboloide .... 7 23,24
„ 12. Elliptisches Paraboloid mit Erfim-

mungslioien 7 169

„ 13—15. Hyperbolische Paraboloide ... 7 29—31
„ 16. Hyperbolisches Paraboloid mit Erüm-

mnngslinien 7 170

„ 17. Elliptischer Eegel 7 35

„ 18. „ „ mit Erümmungs-

Hnien 7 167

Serie IT. Fadennodelle von Flächen 2. Ordnung.

Nr. 1-3. Hyperboloide 9 14—16

„ 4, 5. Hyperbolische Paraboloide .9,10 33,34

Serie T. Gipsnodelie nach Originalen der tecbn. Hochschule
MQnchen (3. Folge).

Nr. 1. Modelle für die elliptische Fanction

<p = am{u,k) 11 273

„ 2. RotatioDsfl&chen von coDstantem posi-

tiven Erummnngsmass ... 11 200—202
„ 3, 4. Schranbenfiächen von constantem po-
sitiven u. negativen Erummnngsmass 11 205, 211
„ 5. Vier Formen der Dupin'schen Oyclide 11 79,82-84

,, 6. Eettenlinie anf der Engel ... 12 280

„ 7 a, b. Enveloppen der von einem Punkte

ausgehenden geodätischen Linien
auf dem Rotationsellipsoid . 12 195, 1 97

Serie TL Modelle von Wellenflächen und eines Kreiskegels,
sowie Gipsmodelle nach Originalen der teohn.
Hochschule MQnchen (4. Folge.)

Nr* 1 — 4. WellenflAchen fCLr optisch zweiazige

\ipd einazige Erystalle ,

r m

\302-

300
304

iDhaltBTeneichnis. IX

I. Teü n. Teü

Seite Nr.

Nr. 5. Kreiflkegel mit SchnitteD ... 13 36

„ 6. Baumourven 3. OrdnaDg nach Klein 13 133

Serie YII. Gipsaodelle von Fliehen 3. Ordoang nach Rodenberg 14 38-64

Serie Tin. Gipsmodelle nach Originalen der teohn. Hooh-

sohule MQnchen (5. Folge).

Nr. 1. Fläche von constantem negativen

Erfimmnngsmass 17 212

„ 2. Minimaia&che 9. Ord. nach Enneper 17 224

„ 3. Flftche 12. Ordnung, Brennfläche etc. 17 111

,, 4. Reliefperspectivische Darstellunfir von

Körpern 17 247

,, 5. Rohrenschraabenfläohe nebst Krfim-

mangslinien 17 124

„ 6 a. Windschiefe Schraubenfläche nebst

Krfimmnngs- nnd Asymptotenlinien 17 223

„ 6 b, c. Catenoid ans Gips und biegsamem

Messingblech 17 221,222

„ 7. Rotationsellipsoid und die auf ihm ab-
wickelbare Schraubenfläche . . 18 214—216

{80 81
92*- 98

Serie X. Gips-, Draht- u. Messlngblechmodelle, zum grössien
Teil nach Originalen der teohn. Hoehsohule MDnohen
(6. Folge).

Nr. 1. DrahtgesteUe zur Darstellung von

Minimalflächen

Zwei Modelle f. Fadenconstructionen
des Ellipsoids nach Staude

Dreiaziges EUipsoid längs eines Kreis-
sohnittes zerlegbar ....

Modell einer Fläche 4. Ordnung .

Parabolische Oydide

Flächenstreifen von constantem posi-
tiven Krümmungsmass

Wellenfläche fOr optisch einaxige
Krystalle mit positiver Doppel-
brechung

,, 8. Drei Typen von Cyoliden , ,

»»

»1

»)

227

171, 172

203,204

301

86-88

Inhaltsyeraeiohnis.

Nr. 9.
n 10.

„ 11.

„ 12.

n 13.
„ 14.

I. Teil n. Teil

Seite Nr.

Fläche 8. Ordnung 22 110

Zwölf Typen von Rotationsflftchen mit

Asymptotenourven 22 176—187

Bohnenförmig gestaltete Körper znr ver-
snchsweisen Bestimmung der para-
bolischen Krümmnngs- nnd Asym-
ptotenlinien 22 174,175

Enveloppen der von einem Punkt aus- ( 196,

gehenden geodätischen Linien . . 22 \ 198, 199

Dreiaxiges Ellipsoid 22 4

Zwei Flächenstreifen von constantem

negativen Erömmungsmass . .22 213

Berie XI. Drahtmodelle Ober die Projectionen einer un-
ebenen Corve nach Chr. Wiener ....

23 126—132

Serie xn. Fadenmodelle zu der Raumcurve 4. Ordnung

erster Art nach Hermann Wiener

24 141—144

Serie XIIL Fadenmodelle der Regelflächen 4. Ordnung nach

Rohn

27 100-109

Serie XIY. Modelle zur Functionentheorle nach Dyck, Ab-

gQsse nach Originalen der techn. Hochschule

München (7. Folge)

29 263-272

Serie XY. Projectionemodelle etc. der eoche regelmäeelgon

vler*dlmenslonalen Körper und des vler-dlmea-
eionalen vierseitigen Prismas nach Schlegel

31 248-259

Serie XYI. Confocaie Fliehen 2. Grades nach Neovius und

Schwarz.

Nr. 1. Ellipsoid 35 160

2. Rechteckige Platte 35 161

3. Kugel 35 162

4. Einschaliges Hyperboloid .... 35 12

5. Zweischaliges „ .... 35 19

6. Ellipsoid und einschaliges Hyperboloid 36 163

7. „ „ zweischaliges „ 36 164

8. Einschaliges und zweischaliges „ 36 20

9. Ellipsoid mit Hyperboloiden . , , , 36 165

InhaltsveneichniB. XI

L Teü IL Teü

Seite Nr.

Serie XYU. Gipsnodelle vortolilodoaer Art, zun Toll nach

Originalen der techB. Hechechale München (8.Felge)

Nr. 1. Minimalflftohe mit einer Schar reeller

Parabeln nach Neoyins ... 39 226

„ 2. Die sieben Hanpttypen der ebenen

Corven 3. Ordnung nach Mobins . 39 152,153
„ 3. Flächen von constantem positiven

Erflmmnngsmass nach Enneper . 39 206,207
„ 4. Catalan^sche Minimalfl&che nach

Keovins 39 225

„ 5. Orthogonalsysteme auf der Kugel

nach Dyok 39 274-276

„ 6. Regnl&re Gebietseinteilnngen anf der

Kugel nach Dyck .... 39 277—279
n 7. Konische Knotenpunkte nach Dyck

und Finsterwalder . . . . 40 188-191
„ 8. Gestalts&nderungen einer schwingenden

Saite nach Klein 40 305,306

„ 9. Wftrmeströmung in einem Stabe und

in einem Ringe nach Klein . 40 307—309

„ 10-12. Eiemann'sche Flächen . . . ' . 40 260—262
„ 13. Fläche, auf welcher das Ellipsoid

durch parallele Normalen conform

abgebüdet wird 40 173

Serie AViu. Fademedelle der Regelflächen 3. Gradee nach

Chr. Wiener 43 65-68

Serie XIX. Reguläre Gebletatellungen des Rtunea nach

Sohoenfliee 45 310-321

Serie XX. Fadenmedelle der Regelechraubenflächen nach

Chr. Wiener 47 118-123

Serie XXI. Fadennodelle der ahwickelbaren Flächen der

Raumcurven 4. Ordnung 2. Art nach Rohn 49 145—151

Serie XXII. Cartonnedalle Ober die Krflmninng der Flächen

nach Chr. Wiener 52 154-156

Serie XXIII. Einfache Modelle der Flächen 2. Ordnung und

doa Cyllndroldo naoh H. Wiener.

Nr. la. EUipsoid 53 1

,, Ib. „ mit Krfimmungslinien . 53 157

XII

Inhaltsverzeichnis.

Nr. 2.
3.

4, 5.

8 a, b.

9a,b.

10.

Einschaliges Hyperboloid

Zweischaliges ,,

Paraboloide

Ümdreh-Hyperboloid

Haumcarve 4. Ordnung

Paraboloide

Oylindroide

Cylindroid und Paraboloid vereint

Serie XXIY* Kinematische Modelle nach Fr. Schilling .

I. Teil

II. Teil

Seite

Nr.

22, 26

140

27, 28

69, 70

285-296

Serie XXY. Fadennodelle der Kegel 3. Ordnung nach H. Wiener 58 72—78

Serie XXYI. Modelle Hir darstellende und projective Geometrie.

Nr. 1—10. Architectonische Polyeder nach Hauck 61 228-237
„ 11—18. Acht ModeUe nach Fr. Schilling . 62 238-246

Serie XXYII. Drahtmodelle electrischer Aequtpotentlal- und

Kraftlinien nach 0. Wiener 68 297-299

Serie XXyill. Modelle der Raumcurven 3.0rdnung nach Ludwig

Nr. 1—4. Die vier Typen auf Celluloidcylindern

5. Abwickelbare Fläche der cubischen
Ellipse

6. Horoptercurve

?»

Serie XXIX. Modelle zur Kreiseltheorie nach Gratsmann

134-137

138

139

282—284

InhaltsverzelcliDis. Xllt

Teil IL
Anordnung der Modelle nach ihrer sachlichen Zusammengehörigkeit.

I. Flächen 2. Ordnung. Seite

a. Ellipsoide 79

b. Hyperboloide 79

c. Paraboloide 81

d. Kegel und Cylinder 82

IL Algebraische Flächen 3. Ordnung.

a. Nichtgeradlinige Flächen 83

b. Regelflächen, insbesondere Kegel 87

IIL Algebraische Flächeu 4. Ordnung.

a. Cycliden 90

b. Knmmersche Flächen 92

c* FJächen mit 4 längs Kreisen berührenden Ebenen . . 92

d. Flächen mit Doppelgeraden 93

e. Regelflächen 94

lY. Algebraische Flächen von höherer als 4. Ordnung, LInlengeonetrIe. 95

Y. Schraubenfläohen 97

YI. Raumcurven und abwickelbare Flächen 98

Yn. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

a. Krümmung der Flächen im einzelnen Punkte . 102

b. Krnmmungslinien, insbesondere auf den Flächen 2. Ord-
nung; confocale Flächen 102

c. Asymptotencurven und parabolische Ourven 105

d. Geodätische Linien auf Flächen 2. Ordnung 107

e. Flächen von constantem Krümmungsmass und aufeinander
abwickelbare Flächen 107

f. Flächen von constanter mittlerer Krümmung ; Mini malflächen 111

YIII. Darstellende und projective Geometrie.

a. Hilfsmittel für das geometrische Zeichnen ; projective Er-
zeugung der Kegelschnitte; Reliefperspective . .114

b. Projectionen vier-dimensionaler Körper 117

IX. Functionentheorie .119

X. Mechanik und Kinematik 122

XI. Mathematische Physik. (Electricität, Optik, Elasticität, Wärmelehre). 125

XIL Krystallstructur (Reguläre Gebletstellungen des Raumes) ... 128

XIII. Modelluntersätze und Stative 130

Erster Teil.

Anordnung der Modelle.

nach

Serien.

Cartcn-Modelle.

Erster Teil.

Ein * an der Nummer bedeutet, dass sich im II. Teil des Katalogs

eine Abbildung des Modells befindet.

Carton-Modelle von Flächen zweiter Ordnung,

construiert nach Angabe
von

Dr. A. Brlll,

ord. Professor an der kgl. techn. Hochschule zu München.

]>ar§:estellt dareh iueinauderf efttsrte Aussehuitte aus farbigem Cartoopapier.

No. 1.'*' Elllpsoid, gebUdet aus 22 Kreisen.

„ 2. desgl. anderer Construction, gebildet aus 30 Kreisen.

„ 'S* Hyperboloid, einschallgee, gebildet aus 34 Kreisen.

„ 4. desgl., ZWeiSOhaligee, (eine Hälfte) gebildet aus 24 Kreisen.

,, b* Parabolold, elllptieoheo, gebildet aas 28 Kreisen.

„ ü. desgl. hyperbolisches, gebildet aus 20 geradlinig begrenzten Schnitten.

„ 7. Kegel, (eine Hälfte) gebildet aus 26 Kreisen.

Die Cartonscheibeu sind, unbeschadet der Beweglichkeit, gegenseitig so befestigt, dass
ein Auseinanderfalien der Modelle verhütet wird. Eine wissenschaftliche Erläuterung

ist beigefügt.

Preis der Serie 16 Mark.

Auf Verlangen werden die Modelle Nr. 4 und 7, damit die beiden Flächenmäntel in
ihrer gegenseitigen Lage veranschaulicht werden können, in je 2 Exemplaren ge-
liefert. Zum Aufstecken des Doppelkegels eignet sich dann das für das einschalige
Hyperboloid bestimmte Gestell Nr. 2, während für Nr. 4 (zweischaliges Hyperboloid)
zwei Gestelle Nr 1 erforderlich sind. Die Mehrkosten betragen Mark 2.30 für jedes

weitere Modell.

Diese im Jahre 1874 veröffentlichten Modelle verdanken ihr
Entstehen der Anreg-ung-, die das auf der Mathematiker- Versammlung"
in Göttingen ausgestellte Modell eines elliptischen Paraboloids von
Prof. lienrici in London, aus Halbkreisen zusammengesetzt, dem
Urheber gab. Er änderte die Construction in zweckentsprechender
Weise ab und dehnte das Verfahren auf die Darstellung- aller
Flächen zweiter Ordnimg" aus.

2 Carton-Modelle."

Die Modelle unterscheiden sich von anderen durch ihre
Beweglichkeit, vermöge deren jedes einzelne Modell nicht nur
ein einzelnes Ellipsoid, Hyperboloid etc., sondern ein ganzes System
von Flächen der einen oder anderen Art darstellt, Flächenformen,
welche das Modell der Reihe nach durch Anwendung eines leichten
Druckes oder Zuges annimmt.

Bei der Biegsamkeit des Stoffes, aus dem die Modelle her-
gestellt sind, schien es geboten, zweckentsprechende Stative an-
fertigen zu lassen, um die Modelle beim Gebrauch zu schonen
und einzelne Formteile beim Anfassen mit der Hand nicht undeutlich
werden zu lassen.

Preise
Stativ Nr. 1* zum Aufstecken der Mod. Nr. 1, 2, 4, 5 u. 7 . Mark 1.50.

„ 2* zum Aufstecken des Mod. Nr. 3 „ 2. — .

„ 3* zum Aufstellen des Mod. Nr. 6 „ 1. — .

Bei Bestellung der Stative ohne Angabe der gewünschicu Anzaiil werden diese für
sämtliche Modelle mitgeliefert, mithin 5 Stück von Nr. 1, je 1 Stück von Nr. 2 u. 3.

Serie I.

Serie L

Gips-Modelle.

Abg-üsse nach den im mathematischen Institut der kg-l. technischen
Hochschule in München angefertigten Originalen, (i. Folge.)

Ausgeführt

unter Leitung tob Professor Dr. Brlll.
Nr. 1.* Die Rotationsfläche der Tractrix mit geodätischen und Haupttangenten-

Curven. Modelliert von stud. malh. /• Bacharach. (Grösse des Modells
25x18 cm.) Mark 9.—.

„ 2. Die Brennfliche eines Strahlensystems, welche mit der Fläche der KrUmmiings-

centra des elliptischen Paraboloids in colHnearer Verwandtschaft steht.
Modelliert von stud. math. L. Schleier macher.

a) Die beiden Mäntel der Fläche getrennt (Grösse lOxlO ii. 7x7 cm.) zu
je Mk. 6. — .

b) Die beiden Mäntel vereinigt (Grösse 10x11 cm.) Mark 5 — .

„ 3.* Die Centrafläche des einschailgen Hyperboloids. Modelliert von stud. maih.

IV. Dyck.

a) Die beiden Mäntel der Fläche getrennt (Grösse 17x16 und 17x16 cm.)
Mark 8. — und 9. — .

b) Die beiden Mäntel vereinigt (Grösse 17x16 cm.) Mark 10.—.

4. Die geodätischen Linien auf dem Rotationsellipsoid. Construiert von

stud. math. K. Rohn. (Grösse 12x18 cm.) Mark 6.—.

5. Die geodätischen Linien durch die Nabelpunkte des drelaxigen Ellipsoids.

Construiert von stud. math. K, Rohn. (Grösse 10x18 cm.) Mark 6. — .

Preis der iranzen Serie 60 Mark.

Bei Gelegenheit der Uebungen, welche im mathematischen
Institut der kgl. technischen Hochschule in München von den Herren
Professoren Brill und Klein geleitet wurden, wurde als Zweck der
auszuführenden Untersuchung wohl die Herstellung eines Modells
oder einer Zeichnung ins Auge gefasst. Einige der so als Uebungs-
beispiele entstandenen Modelle erwiesen sich, mit Rücksicht darauf,

4 Serie I.

dass an derartig"en Anschauungsmitteln kein Übcrfliiss ist, als der
Vervielfältigung- wert, und eine erste Serie derselben, welche unter
Leitung- von Herrn Brill enstanden ist, wurde der Öffentlichkeit
überg-eben. Die Modelle sind, wie sie g-erade ausgeführt wurden,
aneinanderg-ereiht und erheben schon infolg-e ihrer Entstehung-sweise
nicht den Anspruch, etwas in sich Abgeschlossenes zu geben oder
allen Anforderungen eines weiteren Gesichtskreises zu genügen.
Immerhin dürften dieselben auch in dieser Form manches Neue
und des Interesses Werte enthalten, wie denn die beigefügten
Abhandlungen keineswegs nur Bekanntes reproducieren ; und der
Zweck, den Urheber und Verleger im Auge haben, wäre erreicht,
wenn die Anregung, die von räumlichen Darstellungen auszugehen
pflegt, einen Vorzug auch der vorliegenden Modelle büden würde.

Veröftentlicht 1877.

Serie II.

Gips-Modelle.

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen
Hochschule in München angefertigten Originalen. (2. Folge.)

Ausgeführt

anter Leitung der Professoren Br. Brlll und Br. Klein«

AuBgeftthrt unier Leitanf Ton Professor Br. Klein.
Nr. 1.'*' Drei Modelle der Kummer'sohen Fläche. Von stud. math. K. Rohn.

p) Alle sechzehn Knotenpunkte sind reell. (Grösse 21x18 cm.) Mk. 24. — .

b) Acht Knotenpunkte reell. (Grösse 30x20 cm.) Mark 28.—.

c) Vier Knotenpunkte reell. (Grösse 20x15 cm.) Mark 18. --.

., 2. Fläche dritter Ordnung mit vier reellen oonlechen Knotenpunkten nebet

HnupttnngentenCUrven. Von stud. math. /. Bachanuh. (Grösse 13X22 cm.)
Mark 14.— .

AusgrefUhrt unter Leitunsr Ton Professor Br. Brill.

»»

3.* Die Rotationsflächen conetanter mittlerer Krümmung nebet geodätischen

Linien. Von stud. math. A. v. Braunmühl.

a) Onduloid (Grösse 12x26 cm.) Mark 9. - .

b) Nodoid (Grösse 11x8 cm.) Mark 8. — .

c) Ring des Nodoids, durch Umdrehung der Schleife entstanden. Mk. 2.— .

d) Catenoid (Grösse 16x10 cm.) Mark 8. — .

4. Rotationsfläche von constantem negativen Kriimmungsmass (Kegel-Typus)
nebst geodätischen und Asymptoten-Linien. Von stud. math. /. Bacharach.

(Grösse 17x17 cm.) Mark 9.—.

6 Serie 11.

Nr. 5.* Rotationsfläche von constantem negativen Kriinmungemass (Hyperboloid-
Typue) mit parallelen geodätlechen Linien und geodätlechen Kreisen. Von

stud. math. W. Dyck. (Grösse 13x21 cm.) Mark 12.~.

„ 6. Baiinourve eines schweren Punktes auf einer Kugel. Von stud. math.

Z. SchUiermacher. (Grösse 18x14 cm.) Mark 11. — .

Preis der sranzen Serie 120 Mark«

Den Nummern i — 5 ist ein erläuternder Text beig-efügt, bei
Nr. 6 ist die erforderliche Erläuterung unmittelbar an dem Modell
angebracht.

Veröffentlicht 1877.

Serie IIT.

Serie III.

Gips-Modelle von Flächen zweiter Ordnung,

ausgeführt unter Leitung von Professor Dr. BriU

Ton

B. Diesel,

Studierendem der kgl. technischen Hochschule in München.

Ganze Serie, bestellend aus 18 Modellen.

I. Gruppe, 7 Modelle (Nr. 1, 3, 5, 8, 10, 13 u. 17). — II. Gruppe, 11 Modelle

(Nr. 2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16 u. 18).

Nr. 1. Elllpsoldy grosse Halbaxe 5 cm. ; Axenverhältnis V 3 : V 2 : V 1. Mk. 1.40.

„ 2. Dasselbe mit KrttmmungsHnien. Mark 2.80.

„ 3. EiilpSOid, grosse Halbaxe 9 cm.; Axenverhältnis VSTVlTTVir Mk. 1.90.

„ 4.* Dasselbe mit Krttmmungslinien. Mk. 6.80.

„ 5. Einsohaliges Hyperboloid mit dem Asymptoten-Kegel; grosse Halbaxe der

Kehlellipse 4 cm. (Höhe des Modells 23 cm.) Mark 8.20.
„ 6.* Dasselbe mit den beiden Scharen von geraden Erzeugenden. Mk. 13.60.
„ 7. Dasselbe mit Krttmmungslinien. Mark 11. — .
„ 8. Zweleohaligee Hyperboloid (vgl. Nr. 17;, reelle Halbaxe 0,93 cm. (Höhe

des Modells 23 cm.) Mark 13.60.
„ 9.* Dasselbe mit Krümmungslinien. Mark 16.40.
„ 10. Elliptisches Parabololdy Halbaxen der Grundellipse 9,5 cm u. 6 cm. (Höhe

des Modells 20 cm.) Mark 2.80.
„ 11. Dasselbe mit Schnitten parallel zur Grundellipse. Mark 3.80.
„ 12.* Dasselbe mit Krümmungslinien. Mark 6.80.
„ 13. Hyperbolisches Paraboloid, gleichseitig, Durchmesser des Begrenzungs-

cylinders 14 cm. Mark 3.80.
„ 14. Dasselbe mit ebenen Hyperbel-Schnitten. Mark 6.80.
„ 15.* Dasselbe mit den beiden Scharen von Erzeugenden. Mark 5.60.
., 16. Dasselbe mit Krümmungslinien. Mark 4.70.
„ 17. Elliptischer Kegel, Halbaxen der Grundellipse 10,4 cm. und 5,4 cm. (Höhe

des Modells 11,5 cm.) Dieser Kegel ist Asymptoten-Kegel sowohl

zu dem einschaligen Hyperboloid (Nr. 5), wie zu dem zweischaligen (Nr. 8).

Mark 3.80.
„ 18.* Derselbe mit Krümmungslinien. Mark 5.60.

Auf sämtlichen Modellen der I. Gruppe sind die Hauptschnittc angegeben.

8 Serie irr.

Preis der granzen Serie 100 Mark,
,, ^, !• Gruppe 35 ,,
i> ,. II. ^9 75 »^

Die vorliegende Serie von Modellen richtet sich an den grossen
Kreis derjenigen Mathematiker, die iin Verlauf ihrer Lehrthätigkeit
oder gelegentlich ihrer Untersuchungen das Bedürfnis einer an-
schaulichen Darstellung der verschiedenen Typen der Flächen
zweiter Ordnung empfunden haben. So lange schon dieses Bedürfnis
besteht, so wenig ist bis jetzt geschehen, demselben abzuhelfen;
existierte bis dahin doch eine systematische Zusammenstellung der
Flächentypen zweiter Ordnung — mit einziger Ausnahme der in
diesem Verlage erschienenen Cartonmodelle — überhaupt nicht, von
Modellen mit Krümmungslinien garnicht zu reden. So entschloss
sich die Verlagshandlung zur Herstellung der obigen Serie, imd es
gelang ihr, in dem Autor derselben eine wissenschaftlich wie technisch
gleich befähigte Kraft zur Ausführung ihres Unternehmens zu ge-
winnen. Um jedem Wimsche begegnen zu können, wurde die Serie
in zwei Gruppen geteilt, von denen die erstere sämtliche Flächen
zweiter Ordninig, teilweise in mehreren Typen vertreten, jedoch nur
mit Angabc der Hauptschnitte umfasst, während die zweite die-
selben Typen mit den beiden Scharen von Krünimungslinien,
ferner einige mit Parallelschnitten und einige mit den geraden
Erzeugenden enthält. Der letzten Abteilung sind zwei kleine Ab-
handlungen über die Herstellung der Krümmungslinien beigefügt.

Durch diese Einteilung glaubt die Verlagshandlung den
Wünschen der Hochschulen ebensosehr wie denen
der technischen Mittelschulen entgegenzukommen. Den
Industrie- und Gewerbeschulen, Real- und Kunstschulen namentlich
glaubt der Verleger die erste (iruppe der Serie empfehlen zu
dürfen ; auch wenn die Lehrpläne und Studienprogramme derselben
nicht in das Studium der Flächen zweiter Ordnung unmittelbar ein-
führen , sollte doch jedem zukünftigen Techniker die (Gelegenheit
geboten werden, sich wenigstens auf dem Wege der An.schautmg
eine Vorstellimg davon zu erwerben, was man unter einem Paraboloid.
einem EUipsoid u. s. w. versteht. Andererseits dürften bei Vorträgen
an Hochschulen die Modelle der zweiten Gruppe, welche
wichtige Eigenscliaftcii derselben zur Anschauung bringen, nicht
weniger willkommen sein.

Veröffentlicht 1878.

Serie IV,

Serie IV.

Fünf Faden-Modelle von Flächen 2. Ordnung,

dargestellt

durch Seidenfäden in Messinggestellen.

Nr. 1.* Unveränderliches Hypsrboloid. Das Modell zeigt zwei Systeme von
Flächenerzeugenden nebst Asymptotenkegel. Jedes System wird dnrch 64 Fäden re-
präsentiert. Abstand der Grundplatten 24 cm., Axenverhältnis der Kehlellipse 21 : 13
Mark 30.—

Nr. 2.'*' Bewegliches Hyperboloid, in der einen Grenzlage ein Cylinder, in der
anderen ein Kegel. Das Modell ist so angeordnet, dass beide Grundplatten beliebig
gegen einander gedreht und geneigt werden können. Die durch 64 Erzeugende gebildete
Fläche durchläuft dabei alle Lagen des geraden oder schiefen Rotations- Hyperboloids
zwischen Cylinder und geradem, bezw. schiefem Kegel und bildet bei gegen einander
geneigten Grundplatten Flächen vierter Ordnung mit leicht erkennbarer Striktionslinie. Die
durch 22 Erzeugende dargestellte Tangeutenebene an Cylinder und Kegel durchläuft
alle Lagen des das Hyperboloid längs einer Erzeugenden tangierenden hyberbolischen
Paraboloids. Abstand der Grundplatten 26 cm., Höhe des ganzen Modells 55 cm.
Mark 70.—

Auf Wunsch kann das Modell auch mit 2 Systemen von Erzeugenden, ähnlich
wie bei Nr. 3, hergestellt werden. Preis dann Mark 75. —

Nr. 3.'*' Bewegliches Hyporbolold, in beiden Grenzlagen ein Kegel. Die Grund-
platten sind beweglich wie in Nr. 2, aber es sind zwei Systeme von Fäden gespannt,
welche in einer mittleren Lage die Erzeugenden eines Hyperboloids darstellen, bei
einer Drehung der Grundplatten jedoch sich von einander trennen und zwei ver-
schiedene Hyperboloide bilden, welche in der (in der Abbildung dargestellten) Grenz-
lage in zwei Kegel übergehen. Die durch 22 Erzeugende dargestellte Tangentenebene
durchläuft wechselnde Lagen des die äussere Fläche berührenden hyperbolischen
Paraboloids. Abstand der Grundplatten 22,5 cm., Durchmesser der oberen 10 cm.,
der unteren 20 cm., Höhe des ganzen Modells 50 cm. Mark 75. —

Nr. 4:* Unveränderliches hyperbolltchet Parabolold. Da die Fläche eine
allseitig offene ist, so wurde die Vorstellung des Flächenhaften durch Anordnung
besonders dicht gespannter Fäden zu erhöhen gesucht. Die Tangentialebene im
Scheitel enthält zwei Erzeugende der Fläche, welche normal zu einander stehen.
Eine dieser Ebene parallele bildet die Grundplatte des Modells; der Abstand der
beiden anderen dazu senkrechten Begrenzungsebenen beträgt 17 cm. Mark 44. —

10 Serie IV.

Nr. 5.* Bewegliches hyperboliSOheS Paraboloid. Die Fläche ist in ein gleich-
seitiges windschiefes Viereck einbeschrieben, dessen Seiten paarweise fest verbunden
sind. Durch Drehung um eine horizontale Axe (Diagonale des Vierseits) lassen sich
diese Seitenpaare aus der horizontalen in eine vertikale Grenzlage drehen, wobei die
aus 2 sich kreuzenden Systemen von je 42 Erzeugenden gebildete Fläche aus einer
horizontalen Ebene in eine vertikale Doppelebene tibergeht. Durch Klemmschrauben
ist die Fläche in jeder Lage leicht festzustellen. Seite des Vierecks 32 cm. Mark 70. —

Diese Serie dient den Darstellungsarten der Cartonmodell-Serie und der Serie 3
der Gipsmodelle von Flächen zweiter Ordnung als wesentliche Ergänzung.

Preis der ganzen Serie 270 Mark.

Die Messinggestelle sind schwarz gebeizt, und bei sämtlichen
Modellen sind die Verbindungen der Messingteile mit aller Sorgfalt
einfach und dauerhaft hergestellt.

Veröffentlicht 1879.

Serie V. 11

Serie V.

Gips-Modelle.

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kg\. technischen
Hochschule in München angefertigten Originalen. (3. Folge.)

Ausgeführt

unter Leitnngr yon Professor Br* BrilL
Nr. l.'^ Darstellung der elllptlseheii Funktion </> = am (u, k) dureh eine Fliehe.

Von den stud. math. Th. Kuen und Chr, Wolff. (Grösse 19x25x36 cm.)
Mark 18.—.

,. 2. Rotationsflächen von constantem positiven Krflnnungsmass nit geodfttlsohen
Linien (drei Typen mit gleichem Krummungsmass). Nach den Zeichnungen

von E. Botir (Journal de l'Ecole Polyt., Tome 22) modelliert und mit geo-
dätischen Linien versehen von Assistenten Dr. P- Vogel.

a) Die Kugel. (Grösse 9 cm.) Mark 1. — .

b) Die Meridiancurve der Umdrehungsfläche trifft die Axe. (Grösse 11x7 cm.)
Mark 4.—.

c) Die Meridiancurve der Umdrehungsfläche trifft die Axe nicht. (Grösse
10x12 cm.) Mark 9.—.

„ 3. Sohraubenfläehe von constantem positiven Krummungsmass. (letzteres ist

das der Flächen unter Nr. 2). Von stud. math. Th. Ktun. (Grösse 24x15 cm.)
Mark 13. — .

,. 4.'*' Scbraubenflftcbe von constantem negativen Krummungsmass. (Meridian-
curve ist die Tractrix. Vgl. U. Dini, Coraptes Rendus Acad. Sc. Paris 1865,
1. Sem. S. 340). Von Dr. P. Vogel. (Grösse 24x15 cm.) Mk. 15.50.

„ 5.* Vier Formen der Oupln'SOhen Cycllde (vgl. die Abhandlung von Clerk Maxwell
in Quart. Journ. of Math. Bd. 9, S. 111) von Dr. P. Vogel.

a) Ringcyclide mit imaginären Knotenpunkten. (Grösse 7 X 14 cm.)
Mark 9.—.

b) Homcyclide ; zwei reelle Knotenpunkte vereinigen zwei auseinander liegende
Flächenmäntel. (Grösse 6x19 cm.) Mark 11.50.

c) Spindelcyclide ; zwei reelle Knotenpunkte vereinigen zwei ineinander liegende
Flächenmäntel. (Grösse 10x11 cm.) Mark 6.50.

d) Parabolische Cyclide mit zwei reellen Knotenpunkten ; erstreckt sich mit
einem unpaaren Flächenmantel ins Unendliche. (Grösse 12x15 cm.)
Mark 11.50.

V3 Serie V.

Nr. 6. Die Kettenlinie auf der Kugel. (Vgl. die Abhandlung von Clebsch in Crelle's
Journ. Bd. 57, S. 104) (Grösse 9 cm.) Mark 8. — .

Die beiden (auf einer Kugel vereinigten) Typen entsprechen dem Fall, wo
das elliptische Integral sich auf ein Kreisintegral reduciert. In den Bezeich-
nungen der genannten Abhandlungen: Q sin t^= 1, a) (> = ^1^^ h) Q ~^ ^U.

„ 7. Die Enveloppen der von einem Punict autgehenden geodfttitchen Linien auf

dem Rotationsellipsoid. Von Dr. ^i. v. ßraumnühl. (Vgl. dessen Abhandlung
in den Math. Annalen Bd. 14, S. 557.)

a) Das verlängerte Rotationsellipsoid (ein Ausgangspunkt). (Grösse
12x8 cm.) Mark 6.50.

b) Das Sphäroid, mit den Enveloppen für zwei verschiedene Ausgangspunkte.
(Grösse 7x10 cm.) Mark 6.50.

Preis der granzen Serie 100 Mk,

Den Nummern i, 3, 4 und 7 sind Abhandlungen beig"efüg-t,
in welchen der (iang- der Rechnung" kurz dargelegt wird.

Veröffentlicht 1880.

Serie VI. 13

Serie VI.

Modelle von Wellenflächen und eines Kreiskegels,

sowie Gipsmodelle,

nach Orig'inalen der tcchn. Hochschule München (4. rA)liJ;e).
Nr. 1.* Die Wellenfläche für optisch zwelaxige Krystaiie. Verhältnis der Axenlängen

12:8,3:6,1. (Grösse 12>c8 cm.) Mark 9.—.

a) Der äussere Mantel (längs eines Hauptschniltes zerlegbar) mit Ausschnitten,
die den inneren Hantel zeigen.

b) Der innere Mantel.

., 2. Das zugehörige Ellipeoid mit den gleichen Axen. Mark 4.—.

„ 3. Die Wellenfläche fQr optisch einaxige Krystaiie mit negativer Drtppelbrechung.

Ein Ausschnitt des Sphäroids zeigt die Kugel. Das Axenverhältnis 8,8 : 7,8
ist ungefähr das des Kalkspaths. (Grösse 8x9 cm.) Mark 4. — .

(Wellenfläche fUr optisch einaxige Krystaiie mit positiver Doppelbrechung
s. Nr. 7).

„ 4. Die Wellenfläche für optisch zwelaxige Krystaiie In einzelnen Octanten
mit den sphärischen und ellipsoidischen Linien auf beiden INänteln und 8

Nabelpunkten. Verhältnis der Axenlänge 12 : 9 : 6. (Grösse der halben Fläche,
2 Octanten, 24x9 cm.) Mark 8.50.
„ 5. Ein Kteltkegel mit Ellipsen-, Hyperbel- und Parabel-Schnitt. Die einzelnen
Stücke sind beweglich. (Grösse 32x19 cm.) Mark 22. — .

„ G. Die Raumcurven dritter Ordnung auf Cyllndern zweiter Ordnung dargestellt

von stud. math. E. Lon^^e. Gipsabgüsse nach den unter Leitung von Professor
Dr. Klein im mathematischen Institut der kgl. technischen Hochschule in
München angefertigten Originalen. (Grösse 10,5x6,5 cm.) Mark 18. — .

a) Die cubische Ellipse, b) Die cubische Hyperbel, c) Die cubische Parabel.

d) Die cubische hyperbolische Parabel.

Preis der granzen Serie 60 Mark.

Der Nr. 4 ist eine Abhandlung" von Herrn Rector Dr. Büklen
in Reutling^en beigefügt, der Nr. 6 eine solche des Verfertigers.

Die Nummern i, 2, 3 und 5 sind auf Veranlassung von Prof.
Dr. Brill entstanden.

Veröffentlicht 1880.

14 Serie VIT.

Serie VII.

Gips-Modelle von Flächen dritter Ordnung.

Die verschiedenen Gestalten der Fläolien dritter Ordnung mit parabolischen
Curven und die wichtigsten Ihrer Hesse'schen FIfichen

von

Dr. Carl Rodenberg,

Professor der Mathematik an der Gr. technischen Hochschule zu Darmstadt.

Ganze Serie, bestehend aus 27 Modellen.
I. Gmppe Mod. Nr. 1—15, II. Gruppe Mod. Nr. 16—26.

Nr. 1.* Diagonalfläche mit 27 reellen Geraden.

„ 2 — 6. Flächen mit 4 reellen 62*), welche unter sich collinear sind und nur im
Verhalten zur unendlich fernen Ebene Unterschiede zeigen.

7. Fläche mit 3 reellen C\, zu denen kein vierter treten kann.

8. Dieselbe Art, von der anderen Flächenseite betrachtet, zur Bildung des
U^ (Modell 16).

9. Fläche mit 3 reellen B^,

10. Fläche mit ^3, dessen Ebenen in je drei reellen Knotenstrahlen schneiden.
Das Modell dient gleichzeitig zur Überführung des B^ in einen ^g.

11. Fläche mit ^3, dessen Ebenen conjugiert imaginär sind.

12 u. 13. Fläche mit B^ + 2 { ^^^^^^^ ) Co. Bei 12 sind die Ebenen des B^ reell,

^ imaginären'
bei 19 imagmar.

14. Fläche mit B^^C\.

15. Fläche mit Bq-\- C\. . 1 • v . c* ui
, o ^ . jjgj V , Strahlen \

16 u. 17. Fläche mit Ua. dessen Ebene in 1 . j reellen \ ,,. %.^ I schneidet.

° ^ emem'' ^ Strahl '

18. Fläche mit U^.

19. Fläche mit Ug,

20. Regelfläche, deren Doppelgerade völlig von reellen Flächenteilen um-
geben ist.

21. Regelfläche, bei deren Doppelgerade dies nur für eine endliche, von zwei
Cuspidalpunkten begrenzte Strecke der Fall ist.

*) Die Buchstaben Cy B^ U bedeuten einen conischen, einen biplanaren, einen
uniplanaren Knoten, der angehängte Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten an,
um welche die Klasse durch die betreffende Singularität erniedrigt wird. — Vergl.
übrigens die Ausführungen im 2. Teil.

Serie VIT 15

Nr.22 u. 23. Cayley'sche Regelfläche mit ( »^«'»^^»ch fernem \ Cuspidalpunkte.

^ im Endlichen gelegenen '
„ 24 a.* Hesse'sche Fläche zu 2 und 5.

„ 24 b. Sternförmiger Teil der vorhergehenden für ein Pentaeder, das aus der
unendlich fernen Ebene und einem regulären Tetraeder besteht.

,, 25.* Hesse'sche Fläche zu 7.

„ 26. (Drahtmodell) Abbildung der Flächen mit 1, 2, 3, 4 C^, welche einem
reellen Pentaeder angehören, auf den Punktraum.

Preis der granzen Serie 300 Mark.
I. Gruppe 140 Mark. II. Orappe 160 Mark.

Die wenigen bis jetzt publicierten Modelle von Flächen dritter
Ordnung- stehen, wenn man von den einfachsten Arten, den Regel-
flächen, absieht, in keinem org^anischen Zusammenhange mit ein-
ander und weisen nur die niedrig"sten Sing"ularitäten auf. Durch
die vorlieg"ende Serie wird nun eine Darstellung sämtlicher
charakteristischen Typen von Flächen dritterOrdnung, nament-
lich auch der mit höheren Sing^ularitäten begabten beabsichtigt,
mit deren Hülfe man sich ein vollständiges und abge-
schlossenes Bild aller möglichen Formen von
Flächen dritter Ordnung, die für eine (Gesamtdarstellung
zu zahlreich wären, verschaffen kann, indem man jeden beliebigen
Typus aus einem der gegebenen (und ebenso irgend zwei der vor-
liegenden aus einander) durch continuierliche Deformation auf an-
schauliche Weise und ohne jede Schwierigkeit ableiten kann.
Dieselbe Aufgabe ist zugleich für diejenigen Ilesse'schen
Flächen gelöst, welche einem eigentlichen reellen
Pentaeder angehören. Von der nicht mehr schwierigen
Behandlung der übrigen Arten dieser Fläche, welche den ver-
schiedentlich degenerierten Pentaedern zukommen, wie sie der Ver-
fasser im Bd. 14 der Math. Annalen aufgezählt hat, kcinnte füglich
abgesehen werden.

Für die wirkliche Darstellung erwiesen sich besonders diejenigen
Typen geeignet, die neben der gegebenen höheren Singularität
noch so viel wie möglich conische Knoten zeigen, und wurden daher
diese Flächen modelliert. Die übrigen mit weniger und keinem
conischen Knoten mag man sich dann durch Anwendung der beiden
Processe des ,,Verbindens" und ,,Trennens" wie sie Herr Prof. <ßC^ein
in seiner Arbeit, Math. Annalen Bd. VI., benutzt, und welche an
Einfachheit nichts zu wünschen übrig lassen, ableiten. Dies gilt

16 Serie Vit.

auch namentlich für Flächen mit nur conischen Knoten oder ohne
Sing-ulari täten, welche imaginäre Linien haben.

Unterschiede in der Gestalt, welche in verschiedenem Verhalten
einer und derselben Art zur unendlich fernen Ebene ihren (jrund
haben, sind nur an einer Gruppe, den Flächen mit 4C2, klar gelegt,
welche sich hierzu besonders eignen. Alle übrigen — mit Aus-
nahme der Regelflächen — werden von der unendlich fernen Ebene
in einem unpaaren Curvenzuge getroffen, da sich gerade bei dieser
Annahme die Bildung höherer Singularitäten aus niederen, ins-
besondere aus C2, sehr anschaulich macht, indem nur endliche
Deformationen notwendijjf werden. Hat man an letzteren Modellen
dann einmal das Verhalten der Fläche in der Nähe* der Singularität
und deren Entstehung kennen gelernt, so gibt ein Blick auf die-
jenigen mit4Co eine Vorstellung von den ihnen collinearen Gestalten.

Da ein conischer Knoten in einem gegebenen Punkt bei
festem eigentlichen Pentaeder die Fläche vollständig bestimmt, so
kann er als Bild derselben gedacht werden. Mit Hülfe des Modells
Nr. 26 kann man dann ohne Weiteres die Art der zugehörigen
Fläche angeben und eine Vorstellung von ihrem ungefähren Ver-
laufe gewinnen.

Den Modellen ist eine 2 Bogen in gr. 8^ umfassende Abhand-
lung beigefügt.

Veröffentlicht 1881.

Serie Vin. 17

Serie VIII.

Gips- Modelle.

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen
Hochschule in München angefertigten Originalen. (5. Folge.)

Ausgeführt

unter Leitangr Yon Professor Br* BrilL
Nr. l.'*' Fläche von oonstantem negativen KrOmmungemMS mit ebenen Kriimmungs-

linien (nach L. ßianchiy vergl. Mathemalische Ann-alen Bd. 16, sowie A. Enneper^

Göllinger Nachrichten 1868). Von stud. math. /. Mack. (Grösse 24x18 cm.)

Mark 16. — .
„ 2. Minimalflftche neunter Ordnung (nach Entwper, vgl. Göltinger Nachrichten 1871,

S. 28). Von cand. math. G, Herting. (Grösse 26x34 cm.) Mark 21.—.
„ 3. Fläche zwölfter Ordnung, Brennfläohe der von einer leuchtenden Linie aus-
gehenden Strahlen nach ihrer Reflexion an einem Cylinder, dessen Axe die-

Linie trifft. Von stud. math. S. Finster walder. (Grösse 13x20x12 cm.)

Mark 15. — .
„ 4.'*' RellefperepectivISOhe Darstellung eines Würfels, einer Kugel, eines Kegels

und eines Hohlcylinders,aufeinem Untersatz vereinigt. Von stud. math ff- Thoma.

(Grösse 20x45x5 cm.) Mark 23.—.
„ 5. RÖhren-Schraubenfläche nebst Krtlmmungslinien. Von Assistenten Th. Kuen,

(Grösse 20x30 cm.) Mark 13.—.
„ 6 a'*'. Windschiefe Schraubentläche nebst Krümmungslinien und Asymptotencurven.

Von cand. math. G, Herfhig, (Grösse 23x22 cm.) Mark 17.—.
Um die Abwicklung dieser Fläche auf ein Catenoid zu zeigen :
b***. Cateneid (Umdrehungsfläche der Kettenlinie) aus biegsamem Messingblech.

Der Kehlkreis der Rotationsfläche geht bei der Deformation in die Axe der

Schraubenfläche über; s. Teil II. Mark 2. — .
r. Dasselbe in Gips, nebst Krümmungslinien und Asymptotencurven. (Grösse

10x22 cm.) Mark 10.50.

Das Catenoid aus Messingblech wird in die windschiefe Schraubenfläche
in der Weise übergeführt, dass man die Endpunkte des Kehlkreises fasst und
diesen in eine gerade Linie auszieht, indem man gleichzeitig ein wenig dreht,

18 Serie VlII.

No.7a. Auf das Rotationsellipsoid abwiciceibare Schraubenfläohe (nach E, Bour,

Journal de l'Ecole polytechnique Bd. XXII). (Grösse 25x12 cm.) Mk. 10.50.

b. RotatlonSOliipSOid aus biegsamem Messingblech. Mark 2.50.

c. Dasselbe in Gips. (Grösse 3x9 cm.) Mark 1.50.

Preis der granzen Serie 125 Mark.

Der Nr. i ist eine Abhandlung" von Assistenten ZA, Mmn,
den Nummern 2, 3, 5 sind Abhandlungen der Verfertiger beigefügt.
Die Erläuterung zu Nr. 4 ist auf dem Modell selbst angebracht.

Veröffentlicht 1882.

Serie K. 19

Serie IX.

Gips-Modelle von Flächen vierter Ordnung

nach Professor Br« Kammer in Berlin«

Abgüsse nach den im Besitze des mathematischen Seminars der kgl.

Universität zu Berlin befindlichen Originalen, von Professor Dr.

Kummer besprochen in den Monatsberichten der kgl. Academie

der Wissenschaften zu Berlin von 1862, 1866, 1872.

Nr. 1—6. Sechs Typen von Flächen vierter Ordnung mit vier längs Kreisen
berührenden Ebenen.

Die Kreise sind die Durchschnittslinien einer Kugel mit den Seitenflächen
eines regulären concentrischen Tetraeders.

Nr. 1. Die Fläche besteht aus vier congruenteii Teilen, die in sechs bfplanaren

KnotenpunJCten zusammenhängen. Mark 17. — .
2. Wie in Nr. 1, die Tangentialebenen in den Knotenpunkten sind jedoch

Imaginär. Mark 19.—^.

3.* Die Römische Fläche von Steiner mit Haupttangentencurven. Sie besitzt

drei Doppelgerade, die sich in einem Punkte treffen. Mark 10. — .
4. Die Fläche besteht aus zehn (sechs und vier je unter sich congruenten) Teilen,

die in zwölf conischen Knotenpunkten zusammenliängen. Mark 23.—.
5.* Die Fläche besteht aus sochs congrucnten Teilen, die in vier uniplanaren

Knotenpunicten zusammenhängen. Mark 21.—.
6. Die Fläche besteht aus vier congruenten Teilen, die in vier uniplanaren

Knotenpunkten zusammenhängen. Mark 23.—.

, ly 8. Zwei Modelle der Dupln'SChen Cyolide mit den Schnittcurven mehrerer doppelt
berührenden Ebenen. Zusammen Mark 12. — .

, 9. Fläche vierter Ordnung mit einer Doppelgeraden: geometrischer Ort der

KrUmmungskreise der Normalschnitte einer beliebigen Fläche in einem positiv
gekrümmten Flächenelement. Mark 6. — . (Vergl. Salmon-Fiedler, Analytische
Geometrie des Raumes, 2. Teil, 3. Aufl., Cap. VI, § 308).

Preis der ganzen Serie 120 Mark,

20 Serie IX.

Die Verlagshandlung hat von Herrn Professor Dr. Mummez
in Berlin die Erlaubnis zur Entnahme von Abg-üssen der von ihm
angefertigten und dem math. Seminar der kgl. Universität zu Berlin
überlassenen Modelle erhalten. Diese Förderung ihrer Absichten
von berufenster Seite erfüllt sie mit Genugthuung und verpflichtet
sie zu um so lebhafterem Dank, als diese bisher unveröffentlichten
Modelle des berühmten Geometers zu den schönsten und elegantesten
gehören, die bisher entstanden sind. Mit gütiger Einwilligung des
Herrn Professors Dr. QC^ciczshass in Berlin wurden die Copien un-
mittelbar von den Originalen entnommen.

Den Modellen i — 6 liegt ein Abdruck der in den Monats-
berichten der Berliner Academie von 1863, 1866 und 1872 er-
schienenen Besprechungen der Modelle von Professor Dr. Kummer bei.

Veröffentlicht 188^.

Serie X. 21

Serie X.

Gips-, Draht- und Messingblech-Modelle,

zum grössten Teil nach Originalen der techn. Hochschule München

(6. Folg-e).

Nr. 1.* Zehn Drahtgestelle zur Darstellung von MInImalfläohen mittelst Seifenlösung.

Preis 12 Mark.

a. Zwei Ringe mit Griif und Füssen zur Darstellung der Rotationsflächen con-
Stanter mittlerer Krümmung (Plateau, Stalique des liquides, T. 1 p. 93 — 103).

b. Schraubenlinie zur Darstellung der windschiefen Schraubenfläche (ibd. p.216).
c — g. Kanten des Oktaeders, der vierseiligen Pyramide, des dreiseitigen Prismas,

des Tetraeders und Würfels (vgl. Schwarz, Bestimmung einer speciellen

Minimalfläche 1871| pag. 84).
h. Kanten des sechsseiligen Prismas (ibd. p. 93).
i. Drahtgestell zur Darstellung der ersten der flinf von Scherck (Grelles Journal ,

XIII. p. 185) angegebenen Minimalflächen.

k. Zwei rechtwinklig gekreuzte Rechtecke zurDarstellung der fünften Scherck'schen

Minimalfläche.

(Ifebwt einer Anweisang zur HerstellanK der Seifenldflanjr*)

,, 2. Zwei Modelle für Fadenoonstructlonen des Ellipsoids, von Dr. O. Staude,

Mit zwei Abhandlangen. Preis zusammen Mark 12. — .

a. Construction aus den beiden Focalcurven.

b. Construction aus einem confocalen Ellipsoid und Hyperboloid*

„ 3. Dreiaxiges Ellipsoid in Gips, längs eines Kreisschniltes in zwei Teile zerlegbar.
Mark 4. — .

„ 4.* Modell einer Fläche vierter Ordnung mit zwei sich schneidenden Doppel-
geraden. Von stud. math. S, Finsterwalder, (Grösse 10 cm.) Mark 3,50.

„ 5. Parabolische Cyolide mit vier imaginären Knotenpunkten. Modelliert von stud.
math. S, Ftnsterivalder, Mit einer Abhandlung. (Grösse 12x20 cm.)
Mark 10. — . (Nachtrag zu den Dupin'schen Cycliden Serie V, Nr. 5.)

„ 6. Zwei Flächenstreifen von constantem positiven Krummungsmass aus dünnem

Messingblech, Preis zusammen Mark 4.50. (Nachtrag zu Serie V, Nr. 2.)

„ 7. Wellenfläche für optisch einaxige Krystalle mit positiver Doppelbrechung,

deren Axenverhältnisse ungefähr dem Zinnober entsprechen. (Grösse 9 cm.)
Mark 4. — . (Nachtrag zu Serie VI, Nr. 3.)

)»

22 Serie X.

Nr. 8. Drei Typen von Cycllden, für welche die Krümmunglinien Kreise und sphä-
rische Curven vierter Ordnung sind. Von S. Finsterwalder . Preis zusammen
Mark 12.—.

Nebst einer Abhandlung von S, Finsterwalder.
„ 9. Fläche achter Ordnung, die durch Bewegung einer Kreislinie entsteht, deren
Ebene senkrecht zur Ebene zweier sich senkrecht schneidenden Geraden bleibt
während die Endpunkte eines Durchmessers auf diesen Geraden gleiten;
oder durch Bewegung des Randes einer Kreisscheibe, welche gegen eine
verticale und eine horizontale Wand gelehnt aus der verticalen in die hori-
zontale Lage gleitet. Von S. Finsterwalder. Mark 4. — .

10. Zwölf Typen von Rotatlonofläohen mit aufgezeichneten Asymptoten- (Haupt-
tangenten-) Curven. Von G. Herting, Preis zusammen Mark 80.—.

Es befindet sich darunter die Fläche, die durch Umdrehung der Sinuslinie
um eine Axe senkrecht zur Wellenrichtmig entstanden ist (diese Eine modelliert
von H» Sievert\ ferner solche, für welche die Projection der Asymptoten-
curven auf eine Ebene senkrecht zur Umdrehungsaxe ein System von Kreisen,
von logarithmischen und anderen Spiralen, von Pascal'schen Schnecken-
linien u. s. w. ist.

Nebst einer Abhandlung von G. Herting,

11. Zwei bohnenfSrmig gestaltete Körper zur versuchsweisen Bestimmung der
parabolischen Curve, der KrOmmungs« und Asymptotenlinien u. s. w. Preis

zusammen Mark 3. — .

„ 12. Enveloppen der von einem Punict ausgehenden geodätischen Linien. Von

Dr. A, V, Braunmühl. Preis zusammen Mark 14. — .

a) Auf einem dreiaxigen EUipsoid.

b) Auf einem grossen abgeplatteten Rotationsellipsoid (zur Demonstration mit
gespanntem Faden, der an einem Stift im Ausgangspunkt befestigt
ist, geeignet).

c) Auf einem grossen verlängerten Rotationsellipsoid (desgleichen).
„ 13. Drelaxiges EUipsoid mit dem Axenverhältnis 1:2: 3. Mark 1.20.

„ 14. Zwei Flächenstreifen von constantem negativen Kriimmungsmass aus bieg-
samem Messingblech, mit deren Hilfe das Aufbiegen einer solchen Fläche
auf eine andere und deren Verschieblichkeit in sich, überhaupt der Begriff
einer „Geometrie" auf diesen Flächen erläutert werden kann. Das Krttmmungs-
mass ist dasjenige des Modells Serie II, Nr. 5. Mark 4, — .

Preis der granzen Serie 155 Mark.

Bis auf No. 2, a und b sind diese Modelle sämtlich nach
Originalen der technischen Hochschule in München hergestellt.

Veröffentlicht 1885.

Serie XL 23

Serie XL

Acht Draht-Modelle*

über die Abhängigkeit der RQcicicehrelemente der Projectionen
einer unebenen Curve von denen der Curve selbst.

Von

Geh. Hofrat Dr, Chr. Wiener,

Professor an der Grossh. techn. Hochschule zu Karlsruhe.

Wenn sich auf einer unebenen Curve ein Punkt und mit ihm
die Tangente und die Schmiegungsebene der Curve hinbewegt, so
kann an einer Stelle jedes dieser Elemente seinen Bewegungssinn
beibehalten oder ihn umkehren. Dieses Verhalten wird der
Charakter der Curve und ein umkehrendes Element ein Rück-
kehrelement genannt. Durch Verbindung der verschiedenen
Charaktere treten acht Möglichkeiten ein. — Die Projection der
Curve auf eine Ebene zeigt im allgemeinen für den Punkt und die
Tangente dieselben Charaktere wie die unebene Curve selbst. Nur
bei den Projectionen auf die drei Hauptebenen, die Schmiegungs-,
die Normal- und die rectificierende Ebene, zeigen sich Änderungen
der Charaktere, so dass hier Spitzen und\Vendepunkte in der Projection
auftreten können, die an der Curve nicht vorhanden sind, und solche
verschwinden, die sich an der Curve befinden.

Die Modelle zeigen die acht möglichen Fälle. Sie stellen die
Curven aus Draht und die Projectionen auf die drei Hauptebenen
durch Zeichnung dar und lassen durch Visieren oder Schattenwerfen
die Abhängigkeit ihrer Charaktere, und durch allmähliche Änderung
der Projectionsrichtung die Entstehung der Singularitäten der Pro-
jectionen erkennen.

Preis der gamen Serie 45 Mark.

Veröffentlicht 1884.

-^^^^^^

2* Serie XII.

Serie XIL

Vier Faden-Modelle

zu der Raumcurve vierter Ordnung erster Art und ihrer

abwiciceibaren Fiäclie.

Von

Professor Dr. H. Wiener

in Darmstadt. *

Nr. 1.* Erster Fall. Die Curve liegt auf vier reellen Kegeln. Darstellung der Curve

als Schnitt dieser Kegel. Mark 110. — .
„ 2. „ „ Die abwickelbare Fläche der Tangenten der Curve. Mk. HO. — .

„ 3.* Zweiter Fall. Die Curve liegt auf zwei reellen und zwei imaginären Kegeln.
Darstellung als Schnitt jener beiden. Die abwickelbare Fläche ihrer
Tangenten. Mark 110. — .
,, 4. Dritter Fall. Die Curve liegt auf vier imaginären Kegeln. Darstellung als
Schnitt zweier geradliniger Hyperboloide. Die abwickelbare Fläche der
Tangenten. Mark 70. — .

Preis der ganzen Serie 380 Mk.

Die vorliegenden Modelle sollen die Haupteigenschaften der-
jenigen Raumcurven vierter Ordnung, die der Schnitt der
Flächen zweiter Ordnung eines Büschels sind, sowie der abwickel-
baren Fläche ihrer Tangenten und der Doppelcurve dieser
Fläche zur Anschauung bringen. Und zwar ist dies für die drei
wesentlich verschiedenen Formen der als reell vorausgesetzten
Raumcurve durchgeführt, welche von der Reellität der vier im
Flächenbüschel enthaltenen Kegel abhängen*). Je nachdem von
diesen nämlich vier oder zwei oder keine reell sind, besitzt ihre
Schnittcurve zwei paare Äste, einen einzigen Ast oder zwei un-
paare Aste.

*) Man vergleiche v. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Art. 558, 560 u. 561.

Serie Xn. 26

Modell 1 zeigt die Curve, welche der Durchschnitt von vier
reellen Kegeln ist. Von jedem derselben ist eine Anzahl von
Erzeugenden durch Fäden dargestellt. Es laufen dann immer vier
Fäden durch einen Curvenpunkt und halten eine Perle, deren
Gesamtheit die Cur\'^e veranschaulicht.

Modell 2 bildet eine Erg-änzung des ersten, indem es dieselbe
Curve wie jenes vorführt, diesmal aber eingehüllt durch ihre ver-
mittelst Fäden dargestellten Tangenten. In den Ebenen je dreier
Kegelspitzen treffen sich die Tangenten paarweise und bilden so die
aus vier rationalen ebenen Curven vierter Ordnung zusammengesetzte
Doppelcurve der abwickelbaren Fläche. Jede dieser vier
Curven besitzt in drei Kegelspitzen Doppelpunkte, von denen je
einer isoliert ist. Die Punkte der Doppelcurve sind da, wo sich
zwei Fäden treffen, wieder durch Perlen bezeichnet. Da sie aber
auch isolierte Teile enthält, in denen sie die Fläche verlässt,
so zeig^en Drähte ihren vollständigen Verlauf an. Die Zwick-
punkte der Doppelcurve, in denen die isolierten Teile auf die
Fläche stossen, sind die Schnittpunkte der vier Ebenen, in denen
sie liegt, mit der Raumcurve.

Diese Punkte sind auch bezüglich der Raumcurve als singu-
lare Punkte ausgezeichnet. Sie besitzen nämlich Rückkehr-
schmieg ungsebenen (diese Sing-ularität ist im zweiten Modell
der Serie XI. dargestellt). Es ist dadurch zugleich der allgemeine
Satz veranschaulicht, dass in einem derart singulären Punkt einer
beliebigen Raumcurve die abwickelbare Fläche diese verlässt und
weiterhin isoliert verläuft.

Modell 3, welches die Curve darstellt, durch die nur zwei
reelle Kegel gehen, vereinigt für diesen Fall, was für den ersten
in zwei Modelle getrennt ist.

Modell 4 stellt die Raumcurve vierter Ordnung dar, durch
welche kein reeller Kegel geht. Da die Curve die Eigentümlichkeit
hat, dass sie nur auf geradlinigen Flächen zweiter Ordnung
liegt, so war es möglich, sie durch zwei Hyperboloide herzustellen,
von welchen je eine Schar von Erzeugenden durch eine Anzahl von
Fäden veranschaulicht ist. Die vier imaginären Kegelspitzen liegen
paarweise auf zwei reellen Geraden und diese sind einander conjugiert
in Bezug auf jedes der beiden Hyperboloide, d. h. sie sind Gegen-
kanten von zwei Tetraedern, deren übrige Kanten durch Erzeugende
je einer der Fläche gebildet sind. Diese Erzeugenden sind durch

26 Serie Xn.

besondere Fäden, jene Gegenkanten durch Drähte hervorg-ehoben.
Jeder von diesen schneidet die beiden Hyperboloide in sich
trennenden Punktepaaren, den Eckpunkten der Tetraeder. Die Invo-
lution, der diese Punktepaare angehören, hat die imaginären Kegel-
spitzen zu Doppelpunkten.

Die abwickelbare Fläche ist auch hier angegeben, sie zerfällt,
wie die Curve selbst, in zwei Teile, die in diesem Falle vollständig
getrennt sind, indem ihre Doppelcurve durchweg imaginär ist.

Es stellen die ersten beiden Modelle die (icbilde in der grössten
auftretenden Vollständigkeit dar; in dem einfacheren Falle konnten
sie in einem einzigen Modelle, dem dritten, vereinigt werden; das
vierte Modell zeigt von den anderen völlig verschiedene, besonders
interessante Formen.

Zum Schluss mag noch auf die verschiedenen F'ormeh hin-
gewiesen werden, welche die Projectionen der Raumcurve
auf eine Ebene annehmen. Es sind Curven mit zwei Doppel-
punkten, und sie erschöpfen sämtliche Formen, die eine solche Curve
aufweisen kann. Auch hier tritt, wie bei den Raumcurven, der
Unterschied derer mit zwei paaren Asten, einem einzigen Ast, oder
zwei unpaaren Asten auf. Aber in jeder dieser Abteilung treten
noch sehr verschiedenartige Formen auf, welche erkannt werden,
wenn man das Auge in die verschiedenen Teile des Raumes bringt,
die durch die Kegel und die abwickelbare Fläche begrenzt werden.
So sind allein bei der Curve des ersten Falles 18 verschiedene
Formen der Projection zu unterscheiden, während im zweiten und
dritten Falle 11 und 3 verschiedene Formen auftreten.

Die Anregung zur Anfertigung dieser Modelle hat der Verfasser
durch seinen Vater erhalten, indem er schon in seiner Studienzeit
an der technischen Hochschule zu Karlsruhe ein zu dieser Gruppe
gehöriges Modell für die Unterrichtssammlung für darstellende
Geometrie ausführte.

Veröffentlicht 1884.

Serie Xm. 27

Serie XIII.

j»

Zehn Faden-Modelle der Regelflächen 4. Ordnung

von

Dr. Karl Bohn,

Professor der Mathematik an der köntgl. technischen Hochschule zu Dresden.

Nr. 1. Regelfläche mit zwei reellen Doppelgeraden und vier PInohpoInts

auf Jeder derselben. Sie besteht aus zwei Teilen, auf welchen je ein Stttck
von jeder Doppelgeraden liegt. Mark 36. — .

„ 2*. Regelfläche mit zwei reellen Doppelgeraden ohne PInohpoInts. Die

beiden Mäntel der Fläche durchsetzen sich gegenseitig längs der beiden
Doppelgeraden. Mark 44. — .

„ 3. Regelfläohe mit zwei reellen Doppelgeraden und vier PInohpoInts

auf einer derselben. Die beiden Mäntel dieser Fläche enthalten je ein
Stück der einen Doppelgeraden und durchschneiden sich gegenseitig längs
der andern. Mark 40. — .

4. Regelfläche mit zwei oonjugiert imaginären Doppelgeraden;

sie besteht aus zwei hyperboloidartigen Flächenteilen. Mark 36. — .

5. Regelfläche mit einer SelbstberQhrungsgeraden und vier PInohpoInts

auf derselben. Diese Fläche besitzt zwei gleichartige Teile und geht aus der
Fläche 1 durch Zusammenrücken der beiden Doppelgeraden hervor. Mark 36.—.

6. Regelfläohe mit einer drei fachen Geraden und vier Pinchpoints auf

derselben; diese Fläche besitzt noch eine einfache Leitgerade. Mark 40. ~.

7. Regelfläohe mit einer dreifachen Geraden und zwei constanten

Tangentialebenen längs derselben ; d. h. die Erzeugende, welche die Fläche
beschreibt, geht zweimal durch die Lage der dreifachen Geraden hindurch. Es
gibt auf der dreifachen Geraden zwei höhere singulare Punkte. Mark 40. — .

8*. Regelfläche mit einem Doppelkegeischnltt und einer Ihn schneidenden

Doppelgeraden. Als Doppelkegelschnitt ist ein Kreis gewählt, auf dem-
selben, sowie auf der Doppelgeraden liegen zwei Pinchpoints. Der gemeinsame
Punkt des Kreises und der Doppelgeraden ist ein Selbstberührungspunkt der
Fläche. Mark 44.—.

9. Regelfläche mit einer Doppelourve dritter Ordnung und vier Pinch-
points. Sie besteht aus einem einzigen Flächenteil, der aus reellen und
ideellen Doppelsecanten der Raumcurve dritter Ordnung gebildet wird. Der
Fläche gehören vier Tangenten der Raumcurve an, welche den Uebcrgang
von den reellen zu den ideellen Secanten bilden. Mark 40. — .

10. Regelfläche mit einer Doppelourve dritter Ordnung ohne Pinchpoints.

Sie wird aus reellen und ideellen Doppelsecanten der Raumcurve dritter
Ordnung gebildet, und wiedenim sind es vier Tangenten der Raumcurve, welche
den Uebergang bilden. Die Fläche besteht aus einem einzigen Teile, der sich
längs der ganzen Doppelourve durchsetzt. Mark 40. — '.

Preis der ganzen Serie 380 Mark.

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»>

28 Serie Xin.

Schon verschiedentlich sind specielle Flächen vierter Ordnung
modelliert worden; es sei nur erinnert an die Flächen mit i6 Knoten-
punkten, an die Plücker*schen Complexflächen, an eine Art von
Flächen mit 12 Knoten, sowie an die Cycliden. Das Modellieren
solcher Flächen ist in der Reg"el eine Folg"e der genaueren Kenntnis
der Eigenschaften derselben. Die Kenntnis verschiedener Eigen-
schaften der Regelflächen vierter Ordnung ist aber bereits früher
durch mehrere Abhandlungen und ein Einblick in ihre verschiedenen
Gestalten neuerdings durch die Abhandlung des Verfassers gewonnen
worden, so dass die Modelle dieser Regelflächen schon aus diesem
Grunde ein allgemeineres Interesse verdienen. Einen zweiten wesent-
lichen Grund für die Bedeutung und den Wert dieser Modelle findet
der Verfasser aber darin, dass sie in der grossen Gattung der Regel-
flächen so ziemlich die ersten sind. Ausser einigen abwickelbaren
Flächen — also Regelflächen speciellster Art — imd den drei
Regelflächen dritter Ordnung sind Regelflächen nicht modelliert.
Und doch sind gerade die Regel flächen besonders instructiv, und
die Fadenmodelle haben den grossen Vorzug, dass man ihre Conturen
ihrer ganzen Erstreckimg nach wirklich sehen kann. Bei den vor-
liegenden Regelflächen ergeben sich als Projectionen Curven vierter
Klasse mit zwei resp. drei Doppeltangenten oder einer dreifachen
Tangente, Curven, welche manche Eigentümlichkeiten aufweisen.

Je nach der Art der vielfachen Curve unterscheidet man Regel-
flächen mit zwei Doppelgeraden, Regelflächen mit einer
dreifachen Geraden, Regelflächen mit einem Doppel-
kegelschnitt und einer Doppelgeraden und Regelflächen
mit einer Doppele urve dritter Ordnung. Flächen der
ersten Art stellen die Modelle i, 2, 3, 4 und 5 vor, Flächen der
zweiten Art die Modelle 6 und 7, eine Fläche der dritten Art das
Modell 8, und endlich zwei Flächen der letzten Art die Modelle
9 und 10. Die Modelle i bis 5 geben über die Flächen der ersten
Art einen Ueberblick, während «bei den übrigen Arten nur die
Fälle modelliert wurden, welche besonders interessant sind und ohne
Modelle sich schwerer vorstellen lassen. Noch ist zu erwähnen,
dass alle Modelle symmetrisch gebaut sind; dadurch gewinnen
sie ungemein an Uebersichtlichkeit, ohne an ihrer Allgemeinheit
einzubüssen. Bei den Flächen i, 2, 3 und 8, 9, 10 sind die Con-
stanten ausserdem so gewählt, dass die Erzeugenden sich in wind-
schiefe Vierscite anordnen lassen, was für die Gestalten dieser
Flächen durchaus keine Specialisierung bedeutet.

Den Modellen ist »eine IV9 Bogen in gr. 8^ umfassende Abhandlung beigefügt.
Veröffentlicht 1886.

Serie XIV. 2d

Serie XIV.

Modelle zur Functionentheorie.

Abgüsse nach den im mathematischen Institut der kgl. technischen
Hochschule in München angefertigten Originalen (7. Folge).

Ausgeführt

unter Leitung: Ton Professor Br. Walther Byek.

Die vorliegende Serie von Modellen ist entstanden im Auschluss
an eine einleitende Vorlesung über Functionentheorie. Die Schwierig-
keit einer möglichst anschaulichen Schilderung des Verhaltens einer
Function in der Umgebung singulärer Stellen Hess den Wunsch
aufkommen, auch auf diesem Gebiete und wenigstens für die
wichtigsten singulären Vorkommnisse das Hülfsmittel räumlicher
Anschauung zu besitzen, das schon auf einer Reihe anderer Ge-
biete — und besonders durch die von den früheren Leitern des
Münchener mathematischen Instituts ausgegangene Anregung — so
zweckmässig und fördernd im Unterricht sich erwiesen hat.

Um für gewisse singulare Pimkte einer Function, dann auch
für den Gesamtverlauf gewisser Functionstypen eine räumliche
Darstellung zu gewinnen, sind (in der bekannten Weise) der reelle
und der imaginäre Teil der Werte einer Function über der Ebene
des complexen Arguments als Ordinaten aufgetragen. So ent-
stehen für jede Function zwei Flächen (mit R und / bezeichnet),
deren gleichzeitige Betrachtung ein Bild des Functionsverlaufs
liefert. Auf den Flächen (für welche gleichmässig die Einheit des
Massstabes zu 3 cm. gewählt wurde) ist ein System von Niveau-
linien und deren Orthogonaltrajectorien aufgetragen. Die durch
Projection dieser Curvensysteme auf die Ebene des complexen
Arguments entstehenden quadratischen Systeme sind (mit Ausnahme
von Nr. 4 und 5, wo es sich nur um die ganz bekannten Kreis-
systeme handelt) in besonderen Tafeln den Modellen beigegeben;
ebenso ist den Modellen ein erläuternder Text beigefügt, welcher in
Kürze die wichtigsten geometrischen wie analytischen Beziehungen für
die einzelnen dargestellten Functionen entwickelt und auf den bezüg-
lich der näheren Ausführungen hier verwiesen sein mag.

30 Serie XIV.

Die Serie enthält folgende Darstellungen:

Die Modelle 1, 2 und 3 veranschaulichen das Verhalten einer Function in der
Nähe von Verzweigungsstellen, und zwar:

Nr. 1. Für 7vi = z^ — l, Zwei Modelle (Grösse 12x12x12 cm.), ausgeführt von
Lehramtscandidaten A. Wildbrett, Preis für a. und b. je Mark 10. — .
„ 2. Für w^=zz< — 1. Zwei Modelle (Grösse 12x12x12 cm.), ausgeführt von

Lehramtscandidaten A, Wildbrett, Preis für a. und b. je Mark 14. — .
„ 3*. Für w^ = l — «2, Ein Modell (Grösse 12x12x12 cm.), ausgeführt von
Lehramtscandidaten A, Wildbrett, Mark 16. — .

Die Modelle 4 und 5 dienen zur Darstellung des Zusammenrückens zweier loga-
rithmischer Unendlichkeitspunkte in einen (einfachen) algebraischen, und zwar gibt:

Nr. 4. Die Function w = — . Ein Modell (Grösse 12x12x12 cm.), ausgeführt von

Lehramtscandidaten A, Wildbrett, Mark 11. — .

1 z — £ ( TZ\

„ 5. Die Function "iv = — log l * ^^ "ZT/ * ^^^i Modelle (Grösse

12x12x12 cm.), ausgeführt von Assistenten H, Burkhardt und stud. math.

y. Kleiber, Preis für a. und b. je Mark 11. — .

Modell 6 gibt das Verhalten einer Function in der Umgebung des einfachsten,

wesentlich singulären Punktes durch

6s
Nr. 6. 6wir=^ . Ein Modell (Grösse 17x18x15 cm ), ausgeführt von stud. math.

/. Kleiber, Mark 18.—.

Die Modelle 7 bis 10 veranschaulichen den Verlauf der elliptischen Functionen

p(«) und p' («) (in der Weierstrass'schen Normalform), und zwar speciell:

Nr. 7* u. 8 für die Invarianten ^j = 4, ^3—0. Drei Modelle (Grösse 16x16x16 cm.),

berechnet und ausgeführt von Assistenten H. Burkhardt und Lehramtscandidaten

A. Wildbrett, Preis für Nr. 7 a und b je Mark 32.-, für Nr. 8 Mark 36.—.

Nr. 9* u. 10 für die Invarianten ^2 = 0,^3=4. Vier Modelle (Grösse 15x22x16 cm.),

berechnet und ausgeführt von Assistenten H, Burkhardt und Lehramtscandidaten

A, Wildbrett. Preis für Nr. 9 a und b je Mark 35.—, für Nr. 10 a und b

je Mark 38. — .

Beigegeben ist ein erläuternder Text zu sämtlichen Modellen (1 Bogen gr. 8® um-
fassend), sowie (in 5 Tafeln) die Darstellung der auf den Flächen eingetragenen

Curvensysteme.

Preis der granzen Serie 330 Mark.

Veröfifentlicht i886.

Serie XV. 3 1

Serie XV.

Projections-Modelle

der sechs regelmässigen vier-dimensionalen Körper
und des vier-dimensionalen vierseitigen Prismas.

Von

Dr. Victor Schlegel

in Hagen i. W.

A. Drahtmodelle mit Seidenföden.

Nr. 1. FGnfZOlly dargestellt durch ein in 4 Tetraeder zerlegtes regelmässiges Tetraeder.

Der Körper enthält 10 Flächen, 10 Kanten, 5 Ecken. (Kante des äusseren

Tetraeders 6 cm.) Mark 1.20.
,^ 2. AohtZ6lly dargestellt durch ein in 7 Hexaeder zerlegtes regelmässiges Hexaeder.

Der Körper enthält 24 Flächen, 32 Kanten, 16 Ecken. (Kante des äusseren

WtirfeU 6 cm.) Mark 4.50.
„ 3. S60hZ6hnZ6il, dargestellt durch ein in 15 Tetraeder zerlegtes regelmässiges

Tetraeder. Der Körper enthält 32 Flächen, 24 Kanten, 8 Ecken. (Kante des

äusseren Tetraeders 8 cm.) Mark 4. — .
„ 4. VierundZWanzigzelly dargestellt durch ein in 23 Oktaeder zerlegtes regelmässiges

Oktaeder. Der Körper enthält 96 Flächen, 96 Kanten, 24 Ecken. (Kante des

äusseren Oktaeders 13 cm.) Mark 18. — .
„ 5. S6Ch8hund6rtZ6il, dargestellt durch ein in 599 Tetraeder zerlegtes regelmässiges

Tetraeder. Der Körper enthält 1200 Flächen, 720 Kanten, 120 Ecken.

(Kante des äusseren Tetraeders 69 cm.) Mark 120. — .
„ 6. Hund6rtZWanzi0Z6li, dargestellt durch ein in 119 Dodekaeder zerlegtes regel-
mässiges Dodekaeder. Der Körper enthält 720 Flächen, 1200 Kanten, 600

Ecken. (Kante des äusseren Dodekaeders 21,5 cm.) Mark 120. — .

„ 7. Projections-Modell des vier-dimensionaien vierseitigen Prismas und seiner

Zerlegung in vier inhaltsgleiche Fünfzelle. (Seitenkante des Prismas 11 cm.)
Mark 4. — .

B. Ansicliten, Netze und Modelle aus Cartonpapier

zu Nr. 5 (Sechshundertzell) und Nr. 6 (Hundertzwanzigzell).

Nr. 8. Zwei Hefte mit lithograph. Ansichten und Netzen der Modelle 5 u. 6. Mk. 4. — .
„ 9.'*' Fünf Carton-Modelie zu Nr. 5 (Sechshundertzell). Mark 20.—.
„ 10. Netze zu Nr. 5, behufs Ausschneiden und Zusammenkleben der Papiermodelle.

Mark 1.50.
„ 11.* Drei Carton-Modelie zu Nr. 6 (Hundertzwanzigzell). Mark 20.—.
„ 12. Netze zu Nr. 6, behufs Ausschneiden und Zusammenkleben der Papiermodelle.

Mark 2.50.

Preis der ganzen Serie 300 Mark.

32 Serie XV.

Nr. 1 — 6. Im vier-dimensionalen Räume g"ibt es, entsprechend
den fünf regelmässig'en Körpern des gewöhnlichen Raumes, sechs
reg'ehnässige Gebilde, welche von regelmässig^en Tetraedern, Hexa-
edern, Oktaedern oder Dodekaedern so beg"renzt werden, dass in
jeder Ecke gleichviele Kanten, Flächen und Körper, und in jeder
Kante gleichviele Flächen und Körper zusammenstossen. Diese
Gebilde sind: i) das Fünfzell, begrenzt von 5 Tetraedern, 2) das
Achtzell, begrenzt von 8 Hexaedern, 3) das Sechzehnzell,
begrenzt von 16 Tetraedern, 4) das Vierundzwanzigzell, be-
grenzt von 24 Oktaedern, 5) das Einhundertzwanzigzell, be-
grenzt von 120 Dodekaedern, 6) das Sechshundertzell, be-
grenzt von 600 Tetraedern. — Obwohl diese Gebilde selbst unserer
Anschauung unzugänglich sind, kann man dennoch Projectionen
derselben im drei-dimensionalen Räume construieren, welche alle an
den Gebilden befindlichen Ecken, Kanten, Flächen und Körper in
ganz analoger Weise zur Darstellung bringen, wie eine ebene
Abbildung die Ecken, Kanten und Flächen eines regelmässigen
Polyeders. Diese Projectionskorper enthalten gleichzeitig die Lösung
eines rein stereometrischen Problems, nämlich : Ein Tetraeder, Hexa-
eder, Oktaeder, Dodekaeder so in Körper derselben Art zu zer-
legen, dass in jeder Ecke gleichviele Kanten, Plächen und Körper,
und in jeder Kante gleichviele Flächen und Körper zusammenstossen.

Die Modelle bringen diese vier-dimensionalen Gebilde in
Centralprojection zur Darstellung, wobei das Projections-Centrum so
gedacht ist, dass kein Grenzkörper einen anderen durchdringt, und
ein einziger als Ganzes alle übrigen als seine Teile in sich schliesst.

In allen Modellen sind die Körper durch ihre in Draht und
Seide ausgeführten Kanten zur Darstellung gebracht, und zwar so, dass
im Allgemeinen die Grenzkanten jeder Polyeder-Schicht in Draht,
dagegen die Verbindungskanten je zweier auf einander folgender
Schichten in verschiedenfarbiger Seide ausgeführt sind.

Die Modelle wurden zum ersten Male auf der 57. Versammlung
deutscher Naturforscher und Arzte (1884) in Magdeburg, sodann (1886)
in Darmstadt bei Gelegenheit des Jubiläums der dortigen Hochschule
ausgestellt.

Nr. 7. Entsprechend dem zwei-dimensionalen Parallelogramm
(,, ebenen zweiseitigen Prisma") und dem drei-dimensionalen drei-
seitigen Prisma gibt es im vier-dimensionalen Räume ein vier-

Serie XV. 33

diniensionales vierseitiges Prisma, begrenzt von zwei con-
gruenten Tetraedern in parallelen drei-dimensionalen Räumen und
von vier dreiseitigen Prismen. — Wie dag Parallelogramm durch
einen Diagonalschnitt (Strecke) in zwei inhaltsgleiche Dreiecke zer-
legt werden kann, und das dreiseitige Prisma durch zwei Diagonal-
schnitte (Dreiecke) in drei inhaltsgleiche Tetraeder, so lässt sich
das vier-dimensionale vierseitige Prisma durch drei Diagonalschnitte
(Tetraeder) in vier inhaltsgleiche Fünfzelle zerlegen. — Und gerade
so, wie in einer Ebene zwei congruente Dreiecke mit paarweise
parallelen Seiten, deren homologe Ecken verbunden sind, die ebene
Parallelprojection eines dreiseitigen Prismas darstellen, so lässt sich
auch durch analoge Construction die räumliche Parallelprojection
eines vier-dimensionalen vierseitigen Prismas herstellen. Dasselbe
gilt auch von der oben erwähnten Zerlegung.

Modell Nr. 7 gibt diese Projection des vier-dimensionalen
vierseitigen Prismas und seiner Zerlegung in vier inhaltsgleiche
Fünfzelle, wobei die Kanten des Prismas durch Messingdraht, die
neu hinzukommenden Kanten der teilenden Tetraeder durch Seide
dargestellt sind.

Das Modell bezweckt einerseits, die Übung in den strengen
Analogieschlüssen, welche aus dem Gebiete der drei-dimensionalen
Geometrie in das der vier-dimensionalen führen, durch ein an-
schauliches und (vermöge der Mannigfaltigkeit der darin vor-
kommenden Gebilde) vielseitiges Beispiel zu fördern. Andrerseits
soll es zur Einübung desjenigen Denkprozesses dienen, vermöge
dessen ein räumliches Gebilde ebenso als Projection eines vier-
dimensionalen erkannt wird, wie eine ebene Zeichnung als Projection
eines drei-dimensionalen.

Nr. 8 — 12. Die zu Nr. 5 u. 6 der Modelle gehörigen Hefte
enthalten Ansichten und Netze zu den Vielflachen dieser beiden
complicierteren Drahtkörper. Die Modelle aus Cartonpapier sind aus
diesen Netzen zusammengefügt und zeigen die schalenförmig sich
umschliessenden Polyeder jener beiden Drahtkörper. Die Hefte und
Cartonmodelle dürften sowohl für diejenigen Mathematiker von In-
teresse sein, welche der Betrachtung und dem Studium der Pro-
jectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper an
sich ihre Aufmerksamkeit schenken, wenn sie auch nicht im Besitz

84 Serie XV.

der Modelle sind, als auch für diejenigen Kreise, welche jene zwei
g^rossen Drahtkörper von der Verlag^shandlung" bereits bezog["en haben.
Wird doch das Anschauung-svermög-en bei Betrachtung" der einzelnen
Teile der Drahtkörper durch Vergleichung derselben mit den Carton-
modellen wesentlich unterstützt, da bei letzteren vermög'e ihrer
Darstellung-sweise, entg^egen den Drahtkörpern, alle Kanten weniger
ins Auge fallen, die Flächen jedes einzelnen Körpers dagegen mehr
hervortreten und eine klarere Vorstellung von der Gestaltimg jedes
einzelnen Polyeders ermöglichen. Wenn auch ein richtiges Gesamt-
bild allerdings dann wiederum nur durch die grossen Drahtkörper
ermöglicht wird, so bilden in vorerwähntem Sinne die Cartonmodelle
eine wünschenswerte Ergänzung der Drahtkörper, die ohne grossen
pecuniären Aufwand beschafft werden kann.

Für diejenigen Mathematiker, welche eine Herstellung der
Cartonmodelle selbst vorzunehmen wünschen, ist die Einrichtung
getroffen, dass die Cartonpapierstreifen mit den lithographierten
Netzen zu oben bemerkten Preisen von der Verlagshandlung in
gleicher Weise wie die Hefte mit den Ansichten separat bezogen
werden können.

Den Nummern 1 — 7 sind Erläuterungen beigefügt.

Veröffentlicht i886.

Seiie XVI. 35

Serie XVL

Gips-Modelle zur Lehre von den confocalen

Flächen zweiten Grades

im Anschluss an einig-e von Professor Dr. E, R. NeOTlus

in Helsingfors angefertigte Modelle.

A. KrOmmunj^Iinien des EUipsoids und conforme Abbildung

des EUipsoids auf die Kugel.

Nr. l.'^ Ellipsoid mit drei Hauptsclinitten und aclitzehn KrQmmungslinien. (Grösse

16x14x9 cm.) Von Professor Neovhts.
„ 2.* RecllteclliQ6 Platte, beiderseitig mit geraden Linien versehen, welche einzeln
den auf dem Modell Nr. 1 ersichtlich gemachten krummen Linien entsprechen.
(Grösse 16x13 cm.)

„ 3.* Kugel mit drei grössten Kreisen und achtzehn confocalen sphärischen

Kegelschnitten. (Grösse 14,5 cm.) Von Professor Neovitis.

Preis mit Untersatz Mk. 30.— •

B. Confocale FlSchen zweiten Grades.

„ 4. Einschaliges Hyperboloid. (Höhe 21 cm.) Mark 13.—.

Das durch dieses Modell dargestellte einschalige Hyperboloid ist zu dem durch
Modell Nr. 1 dargestellten Ellipsoid confocal und geht durch eine der auf dem
Modelle dieses EUipsoids zur Anschauung gebrachten Krümmungslinien hin-
durch. Von jeder der beiden Scharen der geradlinigen Erzeugenden
des einschaligen Hyperboloids sind auf dem Modelle 32 Individuen zur An-
schauung gebracht.

„ 5. Zweischaliges Hyperboloid. (Grösse 21x30 cm.) Mark 16.—.

Dieses Modell besteht aus zwei, durch eiserne Stäbe mit einander verbundenen
Stücken, Das dargestellte zweischalige Hyperboloid ist zu dem durch Modell
Nr. 1 dargestellten Ellipsoid und zu dem durch Modell Nr. 4 dargestellten
einschaligen Hyperboloid confocal und geht durch eine der auf dem Ellipsoid-
modell zur Anschauung gebrachten Krümmungslinien hindurch.

36 Serie XVI.

Nr. 6. Vereinigung eines Eliipeoids mit einem confocalen einschallgen Hyperboloid.

Durchdringung der Modelle 1 und 4. Mark 16. — .

„ 1* Vereinigung eines Elllpsoids mit einem confocalen zweisclialigen Hyperboloid.

Durchdringung der Modelle 1 und 5. Mark 18. — .

„ 8. Vereinigung eines einschaligen Hyperboloids mit einem confocalen zwei-

SChaligen Hyperboloid. Durchdringung der Modelle 4 und 5. Mark 18.—.

„ 9* Vereinigung eines Elllpsoids mit einem confocalen einschaligen und einem

OOnfoOalen ZWelSChaiigen Hyperboloid. Durchdringung^ der Modelle 1, 4
und 6. Mark 22.—.

Preis der granzen Serie 125 Mark.

Nr. 1 — 3. Wenn es sich darum handelt, auf einem Modelle
einer Fläche zweiten Grades, insbesondere auf der Oberfläche eines
Ellipsoids, die beiden Scharen der Krümmun|jslinien dieser Fläche
durch eine grössere oder kleinere Anzahl der zu diesen Scharen
gehörenden Curven zur Anschauung" zu bringen, imd wenn zugleich
die wohlberechtigte Forderung gestellt wird, dass diese Curven
möglichst gleich massig auf der Fläche verteilt sein sollen, so
ist die Auswahl der auf dem Modelle ersichtlich zu machenden
Curven keineswegs willkürlich.

Da nun die Flächen zweiten Cirades die Eigenschaft haben,
durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine
Quadrate geteilt werden zu können, so liegt der Gedanke
nahe, bei der erwähnten Auswahl von der Forderung auszugehen,
dass je zwei benachbarte der zur Anschauung zu bringenden
Krümmungslinien der einen Schar und je zwei solche benachbarte
Krümmungslinien der andern Schar auf dem Ellipsoid ein krumm-
liniges Viereck begrenzen sollen, welches in gewissem Sinne einem
Quadrate möglichst nahe kommt.

Die Unbestimmtheit, mit welcher diese Forderung behaftet zu
sein scheint, verschwindet, sobald diejenige conforme Abbildung
der Ellipsoidoberfläche auf eine Ebene ins Auge gefasst wird, bei
welcher den Krümmungslinien des Ellipsoids gerade Linien der
Ebene entsprechen.

Es entsteht auf diese Weise die Aufgabe, zu untersuchen:
,,Wie muss ein Ellipsoid beschaffen sein, damit die Ober-
fläche desselben durch seine Ilauptschnitte und eine
endliche Anzahl seiner Krümmungslinien in eine endliche
Anzahl solcher krummliniger Vierecke geteilt werden kann,
welche sämtlich in Rücksicht auf die erwähnte conforme
Abbildung Quadraten möglichst nahe kommen?"

Serie XVI. 37

Diese Frag-e hat Herr Dr. E. R. Neovius, Professor der
Mathematik an der Universität zu Helsing-fors, in einer Ab-
handhiPiT beantwortet, welche unter dem Titel: „Anwendung* der
Theorie der elliptischen Functionen auf eine die Krümmungslinien
eines Ellipsoids betreffende Aufgabe" im Jahre 1885 im 15. Bande
der Acta Societatis Scientiarum Fennicae veröffentlicht worden ist.

Gleichzeitig mit der erwähnten Abhandlung sind der Finn-
ländischen Gesellschaft der Wissenschaften einige Modelle vor-
gelegt worden, durch welche das Ergebnis der angestellten Unter-
suchung für einen ausgewählten speciellen Fall in höchst instructiver
Weise zur Anschauung gebracht wird.

Das Ellipsüid, dessen Constanten von Professor Neovius berechnet worden sind,
ist durch folgende Festsetzungen bestimmt:

a. Die Halbaxen des EUipsoids sollen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
bilden.

b. Die Fläche jedes Oktanten des Ellipsoids soll durch vier Krümmungslinien
der den einschaligen confocalen ?Iyperboloiden entsprechenden Schar und
fün f Krümmungslinien der den z w e i schaligen confocalen Hyperboloiden
entsprechenden Schar in 5 * 6 = 30 krummlinige Vierecke zerlegt werden
können, welche in dem angegebenen Sinne Quadraten möglichst nahe kommen.

Bei diesem Modelle lässt die durch die Verfolgung des angegebenen Gedankens
erreichte Gleichmässigkeit der Verteilung der zur Anschauung gebrachten Krümmungs-
linien kaum etwas zu wünschen übrig. In dieser Beziehung dürfte dieses Modell alle
anderen bisher in den Handel gebrachten EUipsoid- Modelle, auf denen KrUmmungs-
linien zur Anschauung gebracht sind, übertreffen.

Aus dem angegebenen Grunde eignet sich dieses Modell in vorzüglicher Weise
auch zur anschaulichen Erläuterung der Bedeutung des Satzes, dass die Oberfläche
eines Ellipsoids durch die beiden Scharen der Krümmungslinien in unendlich kleine
Quadrate geteilt werden kann.

Die Hauptschnitte des Ellipsoids sind durch rote, die übrigen zur Anschauung
gebrachten Krümmungslinien sind durch schwarze Linien bezeichnet.

Die rechteckige Platte dient zur Veranschaulichung der conformen Abbildung
der Oberfläche des durch das Modell Nr. 1 dargestellten Ellipsoids auf die doppelt
zu denkende Fläche eines Rechtecks. Die Eckpunkte des Rechtecks entsprechen
den Nabelpunkten des Ellipsoids. Den Krümmungslinien des Ellipsoids ent-
sprechen hierbei Parallelen zu den Seiten des Rechtecks.

Die Kugel stellt diejenige conforme Abbildung der Oberfläche des Ellipsoids
auf eine Kugel dar, bei welcher den drei Hauptschnitten des Ellipsoids drei grösste
Kreise der Kugel entsprechen.

Wegen der Einzelheiten, insbesondere bezüglich der Bestimmung der Werte
derjenigen Constanten, welche bei der Herstellung der Modelle 1, 2 u. 3 zu Grunde

38 Serie XVI.

gelegt worden sind, wird auf die angeführte Abhandlung von Professor Neovius
verwiesen.

Zu den Modellen gehört eiii gemeinsamer Holzuntersatz, welcher dazu dient,
diese in eine solche Lage zu bringen, dass die Mittelpunkte sich in gleicher Höhe
befinden, während die Ebenen der drei einander entsprechenden Hauptschnitte parallele
Lage erhalten.

Nr. 4 — 9 sind zunächst hcrg^estellt in Exemplaren, welche
sich in der unter Leitung von Herrn Professor II. A. Schwarz
stehenden Königl. Sammlung- mathematischer Instrumente und
Modelle der Universität Göttinnen befinden. Die zu ihrer Her-
stellung erforderlichen Rechnungen und Zeichnungen sind von
Herrn R. Ilaussner, Studiosus der Mathematik an der Universität
Göttingen, ausgeführt worden. Die Modelle 6 — 9 bilden eine Er-
gänzung zu den bisher in den Handel gebrachten Modellen von
Flächen zweiten Grades und werden denjenigen Lehrern der höheren
Mathematik gewiss höchst willkommen sein, die bei ihrem Unterrichte
auf die Lehre von den confocalen Flächen zweiten Grades in mehr
oder weniger ausführlicher Weise eingehen und den Wunsch haben,
ihren Zuhörern die Gewinnung einer deutlichen Vorstellung der
gegenseitigen Lage eines Ellipsoids und der beiden Arten der zu
demselben confocalen Hyperboloide durch Anschauung geeigneter,
in passenden Grössenverhältnissen ausgeführter Modelle zu er-
leichtern.

Die Modelle dieser Serie sind von Herrn Professor cÄ! (3. Schwatz
der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vor-
gelegt worden.

Veröffentlicht 1888.

Serie XVII. 39

Serie XYII.

Gipsmodelle verschiedener Art.

Nr. 1*. Modell einer Minimalfläche, welche eine Schar reeller Parabeln enthält,

deren Ebenen mit einer festen Ebene des Raumes einen constanten Winkel ein-
schliessen. Modelliert unter Leitung von Professor Dr. E. R. Neovins von
Hj. Tallqvtst, Studierendem an der Universität zu Helsingfors. (Grösse des
Gipsmodells 21x25 cm.) Mark 40.—.

„ 2. Die sieben Haupttypen der ebenen Curven 3. Ordnung, nach Möbius auf

einer Kugel dargestellt. Unter Leitung von Professor Dr. Brill modelliert
von cand. math. Dollinger in Tübingen. Zwei Modelle in Gips. (Durch-
messer 10 cm.) Preis zusammen Mark 10. — .

„ 3. Flächen von constantem positiven KrOmmungsmass mit einem System

ebener Krttmmungslinien nach Enneper. Von Studienlehrer Dr. Sievert in
Nürnberg. Zwei Modelle in Gips: Der elliptische und der cycltsche Typus.
(Grösse 16x:16x8 u. 16x15x14 cm.) Preis zusammen Mark 18. — .
„ 4. modell der Catalan'SOhen minimalfläohe. Modelliert unter Leitung von
Professor Dr. E. R. Neovius von J. Laine, Studierendem an der Universität
zu Helsingfors. (Grösse des Gipskörpers 22x22x14 cm.) Mark 40. — .

Modelle zur Functionentheorie,

angefertigt auf Veranlassung von Professor Dr. Dyck im mathematischen
Institut der Kgl. technischen Hochschule in München. (8. Folge).
5. OrthogonalsySteme auf der Kugel, ausgefUhrt von Assistenten /. Kleiber.
(Durchm. 15 cm.) Die Modelle geben quadratische Einteilungen auf der Kugel

a. u. b. durch zwei aufeinander senkrechte Kreissysteme mit zwei getrennten,
bezw. zusammenfallenden Polen. Preis zusammen Mark 26. —
c. durch zwei Scharen von aufeinander senkrechten Loxodromen. Mk. 8.50.

6. Die den regulären Polyedern entsprechenden regulären Gebietseintellungen

auf der Kugel. (Durchmesser 9 cm.) Die Modelle geben

TT TU TU

a. den Tetraedertypus, Einteilung in 24 Dreiecke mit den Winkeln -— , — , — .

Mark 5.70. 2 3 3

TU 7C 7C

b. den Oktaedertypus, Einteilung in 48 Dreiecke mit den Winkeln — , — -, — .

Mark 7. — .

c. den Ikosaedertypus, Einteilung in 120 Dreiecke mit den Winkeln -— , ~, — -.

Mark 8. — .

*0 Serie XVn.

Modelle zur Flächentheorie,

angefertigt unter Leitung von Professor Dr. Dyck und Professor
Dr. Finsterwalder im mathematischen Institut der Kgl. techn.
Hochschule in München. (8. Folge.)

Nr. 7 a, b, c, d. Modelle für die verschiedenen Typen leonischer Knotenpunkte
mit Angabe des Verlaufes der parabolischen Curve und der Haupttangenten-

CUrven in der Umgebung dieser Punkte. Ausgeführt von Professor A. Sucharda
in Prag. Die vier dargestellten Typen konischer Knotenpunkte unterscheiden
sich nach der Realität der sechs Schnittgeraden der durch die Glieder zweiter
und dritter Ordnung gegebenen Näherungskegel. (Höhe ca. 20 cm.) Preis
zusammen Mark 75. — ,

Modelle zur mathematisclien Physik,

angefertigt auf Veranlassung von Professor Dr. F. Klein in Götlingen
von Oberlehrer Dr. Schellenberg in MtÜheim a. d. R.

8 a u. b. modelle zur Darstellung der Gestaltsändemngen einer schwingenden

Saite (Fortpflanzung stehender Wellen). Die Modelle zeigen die Änderungen
der Gestalt der schwingenden Saite mit der Zeit und zwar a) für die gezupfte,
b) für die angeschlagene Saite. (Grösse 33x26x7 cm.) Preis für 8 a Mark
16.— ; für 8 b Mark 20.—.

9 a, b u. c. modelle zur Theorie der WärmestrSmung In einem Stabe (2 Modelle)

und in einem Ringe (1 Modell). Die Modelle versinnlichen die Ausbreitung
der ursprünglich in einem Punkte zugeführten Wärmemenge über den Stab
(bczw. Ring) in ihrem zeitlichen Verlaufe. (Grösse 28x17x18 cm.) Preis
für 9 a Mark 16.—; für 9 b Mark 18.— ; für 9 c Mark 20—.

Modelle einiger Riemann'schen Flächen.
„ 10. Zweiblättrige einfach zusammenhängende Riemann'sche Fläche, welche in

ihrem Innern einen Windungspunkt erster Ordnung enthält. Mark 2, — . .

H 11. Dreiblättrige einfach zusammenhängende Riemann'sche Fläche, welche in

ihrem Innern einen Windungspunkt zweiter Ordnung enthäh. Mark 2. — .

,, 12. Dreifach zusammenhängende Riemann'sche Fläche mit einer in sich zurück-
kehrenden Begrenzungslinie. (Siehe Riemann's Gesammelte mathematische
Werke, herausgegeben von H. Weber, Seite 89, Figur 3.) Mark 3.—.

Preis der drei Modelle zasammen Mark 6.— •

13. Fläche, auf welcher das Elllpsold durch parallele Normalen conform abge-
bildet wird. Von Dr. K. Reinheck in Einbeck. Preis Mark 12.—.

Serie XVn. 41

Nr. 1. Dieses Modell stellt diejenige Minimalfläche dar, welche
durch geometrische Addition der gewöhnlichen Schraubenfläche und
der sog. C a t a 1 a n ' sehen Minimalfläche entsteht. Die C a t a l a n ' sehe
Fläche enthält bekanntlich eine Schar reeller Parabeln, deren Ebenen
alle auf einer festen Ebene senkrecht stehen. Auf der Additions-
fläche liegt ebenfalls eine Schar reeller Parabeln, deren Ebenen
mit einer festen Ebene einen co ns tan tcn, von 90® verschiedenen
Winkel einschliessen. Für die durch das vorliegende Modell dar-
gestellte Fläche beträgt die Grösse dieses Winkels 45 ®. Durch die
auf dem Modell dargestellten Parabeln und deren orthogonale
Trajectorien wird die Eigenschaft der Fläche veranschaulicht, dass
sie durch die beiden Curvenscharen in unendlich kleine Quadrate
geteilt werden kann. Ausser diesen beiden Scharen ist noch die
Scheitelcurve der Parabeln auf dem Modell zur Anschauung gebracht.

Nr. 2. Seine schönen Untersuchungen über Curven 3. Ordnung
gründet bekanntlich Möbius nicht, wie dies Newton thut, auf die Be-
trachtung der Kegel dritter Ordnung, deren ebene Schnitte die
collinear verwandten Typen ergeben, sondern auf die Schnitt-
curven dieser Kegel mit einer Kugel, deren Mittelpunkt sich in
der Spitze des Kegels befindet. Die so erhaltenen sphärischen
Curven haben vor den ebenen den Vorzug, alle gestaltlichen Eigen-
tümlichkeiten der durch Projection aus einander ableitbaren Curven-
arten in einem Bilde zu vereinigen.

Von Interesse ist die Spaltung des einen der fünf Newton'schen
Typen in drei Unterarten, wie sie auf einer der beiden Kugeln dar-
gestellt sind. Die andere Kugel weist die vier übrigen Typen auf.

Nr. 3. Die eine dieser F'lächen bildet in gewisser Hinsicht das
Gegenstück zu der Bianchi'schen Fläche von constantem negativen
Krümmungsmass (Serie VIII, Nr. 1), während die andere den ersten
Fall der allgemeinen Enneper'schen Flächen darstellt.

Nr. 4. Das Modell stellt die sog. Catalan'sche Minimal-
fläche dar. Diese Fläche gehört bekanntlich zu den Minimalflächen,
welche eine Schar reeller Curven zweiten Grades enthalten, und zwar
sind bei der Ca tal an 'sehen Fläche die Curven zweiten Grades
Parabeln. Die Ebenen der Parabeln sind senkrecht auf einer festen
Ebene, welche eine Symmetrieebene der Fläche ist. In dieser
Symmetrieebene liegt eine von einer gewöhnlichen Cycloide ge-
bildete geodätische Linie der Fläche. Die auf dem Modell dar-

42 Serie XVn.

gestellten Parabeln und deren orthogonale Trajectorien veranschau-
lichen die Eigenschaft der Fläche, dass dieselbe durch die beiden
Curvenscharen in unendlich kleine Quadrate geteilt werden kann.

Nr. 13. Das vorliegende Modell stellt diejenige Fläche dar, auf
welche das Ellipsoid vermöge der punktweisen Zuordnung durch
parallele Normalen in den kleinsten Teilen ähnlich abgebildet wird.

Das Modell soll die Eigenschaft dieser Fläche zur Anschauung
bringen — soweit dieses überhaupt durch ein Modell möglich ist — ,
dass dieselbe durch die beiden Scharen ihrer Krümmungslinien in
unendlich kleine Quadrate geteilt werden kann.

Ausserdem ist hervorzuheben, dass dieses Modell zugleich ein
Hilfsmittel darbietet, um eine Vorstellung von der Gestalt derjenigen
Flächen zu gewinnen, auf welche die übrigen Flächen zweiten Grades,
d. h. die beiden Hyperboloide und die beiden Paraboloide durch
parallele Normalen conform abgebildet werden.

Den Nummern 1 — 9 u. 13 ist ein erläuternder Text beigefügt.

Veröffentlicht i886, i888, 1891 u., 1898.

Serie XVm. 43

Serie XYIIL

Vier Fadenmodelle der Regelflächen

dritten Grades,

augefertigt

an der Grossh. technischen Hochschule zu Karlsruhe
nnter Leitung des Geh. Hofrats Professor Br. TViener

von

Assistenten C. Tesch.

Als Leitlinien der Regelflächen dritten Grades können dienen
ein Kegelschnitt, als welcher ein Kreis gewählt wurde, eine den
Kegelschnitt schneidende und eine ihn nicht schneidende Gerade.
Es sind die vier Hauptfälle in den Modellen dargestellt.

Nr. 1.* Die eine der Leitgeraden schneidet die Ebene des Leitkegelschnittes innerhalb
desselben. Mark 25. — .

„ 2. Die eine der Leitgeraden schneidet die Ebene des Leitkegelschnittes ausser-
halb desselben. Mark 25. — .

„ 3. Die eine der Leitgeraden schneidet die Ebene des in das Unendliche gerückten
und durch einen Richtkegel bestimmten Leitkegelschnittes ausserhalb desselben.
Mark 25.—.

„ 4.* Die beiden Leitgeraden fallen in eine den Lcitkegelschnitt schneidende Gerade
zusammen. Man erhält dadurch die Cayley'sche Fläche. Mark 25. — .

Preis der ganzen Serie 90 Mark.

Die Erzeugenden der Flächen sind durch schwächere, die
Leitgeraden durch stärkere Fäden bezeichnet, und die Schnittpunkte
beider durch Perlen hervorgehoben. Der Leitkreis ist durch Fäden
seiner Ebene und durch Perlen veranschaulicht, welche in den
Schnittpunkten dieser Fäden mit den Erzeugenden der Fläche auf-
gezogen sind. Der Richtkegel in dem dritten Falle ist durch seine
Erzeugenden dargestellt.

Die den Kegelschnitt schneidende Leitgerade ist eine Doppel-
linie der Fläche, welche in dem ersten Falle in ihrem ganzen

44 Serie XVin.

Verlaufe reell der Fläche als Doppellinie ang-ehört, im zweiten und
dritten Falle dagegen nur zum Teil in dieser Weise, zum anderen
Teil als isolierte Linie sich darstellt. In diesen Fällen treten in
den Grenzpunkten dieser Teile Cuspidalpunktc auf, von denen reelle
Kanten der Fläche ausgehen. Im zweiten Falle ist der zwischen
den Cuspidalpunktcn gelegene endliche Teil die reelle Doppellinie,
der durch das Unendliche gehende Teil die isolierte Linie, im
dritten Falle der endliche Teil der isolierte, der durch das Un-
endliche gehende Teil die reelle Doppellinie. Im vierten Falle
bildet die einzige Leitgerade sowohl eine Doppellinie als auch eine
Kante der Fläche.

Modelle dieser Art in grösseren Maßen befinden sich in der
Sammlung der Grossh. technischen Hochschule zu Karlsruhe. Die-
jenigen des ersten und zweiten Falles wurden von SCcim. ScfiaivmicCt
in den Jahren 1882 und 1883, dasjenige des vierten Falles von
^attfi. S{cn9zifis im Jahre 1887 angefertigt. Der Verfasser unterzog
sie auf Anregung* des Geh. Hofrats Professor Dr. 9C^icnct einer
neuen Bearbeitung und construierte Modelle in kleineren Maßen
in den Räumen von Würfeln von 20 cm. Seitenlange.

Veröffentlicht 1891.

Serie XIX. 45

Serie XIX.

Zehn Modelle* zur Darstellung von regulären
Gebietsteilungen des Raumes.

Von

Dr. A. Schoenflies,

Privatdocenten an der Universität zu Göttingen.

Eine reg-uläre Raumteilung" ist eine solche Zerleg-ung- des
Raumes in lauter gleiche Bereiche, bei welcher jeder Bereich auf
analoge Art von den Nachbarbereichen umgeben ist. Eine regel-
mässige Anordnung von Würfeln oder beliebigen Parallelepipeden
bildet den einfachsten Fall derselben. Die Zahl derartiger Raum-
teilungen ist unbegrenzt gross.

Die Modelle dienen dazu, an einigen Beispielen die Art und
Weise zu veranschaulichen, in welcher sich die Raumteilung aus
den einzelnen Bereichen aufbaut.

Die Form der einzelnen Bereiche kann sehr mannigfaltig
gewählt werden. Ihre Begrenzung unterliegt der Bedingung, gewisse
gerade Linien zu enthalten, im übrigen ist sie in den meisten Fällen
der verschiedensten Wandlungen fähig. Sie ist für alle Modelle
möglichst einfach angenommen worden. Aus technischen Gründen
empfiehlt es sich, nur ebene Grenzflächen zuzulassen ; im theoretischen
Interesse liegt es, die stets vorhandene Beziehung zu den Symmetrie-
Axen und den Gestalten des Würfels und Quadrat-Oktaeders
möglichst hervortreten zu lassen. Dies sind die Gesichtspunkte,
welche für die den Bereichen aufgeprägten Formen massgebend
gewesen sind.

Die Serie besteht aus zehn TerscMedeneii Typen. Von

jedem Typus ist ein grösserer Block hergestellt, welcher die Anordnung
der Bereiche deutlich erkennen lässt; er stellt denjenigen Körper

46 Serie XIX.

dar, welcher durch vorschriftsmässig-e Zusammsetzung" von ung-efähr
zwölf einzelnen Bereichen entsteht. Um diesen Block nach den
verschiedensten Richtungen vergrössern zu können, werden von
jedem Typus ausserdem einige Einzelbereiche g-eliefert. Die Art,
in welcher dieselben an den Block anzusetzen sind, ist, soweit
nötig-, kenntlich g-emacht worden.

Die Serie dürfte nicht allein für das g-eometrische Problem
der singulären Raumteilung- von Interesse sein, sondern auch für
die physikalischen, mineralogischen und sonstigfen
naturwissenschaftlichen Disciplinen, für welche die regel-
mässig-e Anordnung gleichartiger Molekeln theoretische Bedeutung
besitzt.

Eine Abhandlung ist beigefügt.

Preis der ganzen Serie 140 Mark.

Auf Wunsch werden von jedem ModeU-Typus weitere Einzelsleine zum Preise von

je 50 Pfg. nachgeliefert.

Veröffentlicht 1891.

Serie XX, 47

Serie XX.

Fünf Fadenmodelle der Regelschraubenflächen.

Die Modelle Nr. 1 — 3 sind nach den

an der (irossh. technischen Hochschule zu Karlsruhe
unter Leitangr yon Geh. Hofrat Professor Br. Wiener

hergestellten Originalen

entworfen von

Assistenten C. Tesch.

Nr. la. Die abwickelbare Sohraubenfläche. Es ist c = ff; der Schnitt normal zur
Axe ist eine gemeine Kreisevolvente. Mark 35. — .
„ Ib. Dieselbe Fläche aus Carton hergestellt. Mark 5. — .

„ 2. Die verschlungene Regelschraubenfläche. Es ist t<.a\ der Normalschnitt

ist eine verschlungene Kreisevolvente. Mark 3ö. — .

„ 3. Die geschweifte Regelschraubenfläche. Es ist 6>a; der Normaischniu

ist eine geschweifte Kreisevolvente. Mark 35. — .
„ 4. Die gerade geschlossene Schraubenfläche (Wendelfläche), bei der die Er-
zeugenden die Schraubenaxe senkrecht treffen. Mark 30. — .

„ 5. Die schiefe geschlossene Schraubenfläche, bei der die Erzeugenden die
Schraubenaxe schief treffen. Mark 30. — .

Höhe der Modelle 22 cm.

Preis der ganzen Serie 160 Mark.

Wird eine Schrauben fläche durch eine Gerade erzeugt, die
einer Schraubenbewegung unterworfen wird, so unterscheidet man
dabei geschlossene und offene Schraubenflächen, je
nachdem die geschraubte Gerade die Schraubenaxe trifft oder
nicht trifft.

Nr. 1 — 3. Ist für eine offene Regelschraubenfläche a der
Steigungswinkel der Kehlschraubenlinie, e der Neigungswinkel der
Erzeugenden gegen eine zur Schraubenaxe normale Ebene, so sind
die durch die Modelle i — 3 dargestellten Fälle durch die Bedingungen
e — a, e < a und e > a unterschieden.

48 Serie XX.

Die Erzeug^enden der Flächen sind durch schwächere Fäden,
die vorkommenden Doppellinien durch stärkere Fäden bezeichnet.
Bei den Nummern i und 3 stellt ausserdem die aus einem Zinkstreifen
gebildete Schraubenlinie des Gestelles eine Doppellinie dar.

Der abwickelbaren Schraubenfläche ist noch die Abwickelung"
beig"egeben.

Nr. 4 u. 5. Diese Modelle stellen die geschlossenen
Schrauben flächen dar, da sie gerade diejenigen Fälle aus-
machen, die bei den in der Technik gebräuchlichen Schrauben zur
Anwendung kommen. Der erste Fall kommt (in Verbindung mit
cylindrischen Begrenzungen) bei Schrauben mit flachem Gewinde
zur Verwendung, der zweite Fall bei Schrauben mit scharfem
Gewinde.

Den Nummern IS ist eine Abhandlung betgefügt.

Veröflentlicht 1891 u. 1898.

Serie XXI. 49

Serie XXL

Fadenmodelle der abwickelbaren Flächen der
Raumcurven 4. Ordnung zweiter Species.

Von

Dr. Karl Kohn,

Professor der Mathematik an der Königl. technischen Hochschule zu Dresden.

Nr. 1. Raumourve 4. Ord. mit 4 reellen Tangenten, die sie noch ausserdem schnei-
den; sie besitzt keine reellen Punkte mit Wendeebenen und Ifegt ganz Im End-
lichen. Die Trisecanten schneiden die Curve, die ganz im Endlichen liegt, teils
in drei, teils in einem reellen Punkte. Die abwickelbare Fläche liegt teils
ausserhalb, teils innerhalb des Hyperboloids, das sie längs jener Tangenten
durchdringt; ihre Doppelcurve liegt ganz ausserhalb und ruht mit 4 Spitzen auf
demselben auf. Die Raumcurve 4. Ord. kann als ebene Curve mit dreifachem,
oder mit drei reellen Doppelpunkten, worunter auch einer oder zwei isoliert sein
können, oder mit einem reellen und zwei conjugiert imaginären Doppelpunkten
projiciert werden. Mark 60. — .

., 2. Raumcurve 4. Ord. mit 4 reellen Punkten mit Wendeebenen; es gibt dann keine

reellen, sie schneidenden Tangenten. Die Curve liegt ganz im Endlichen ; alle
Trisecanten treffen sie nur in einem reellen Punkte. Die abwickelbare Fläche
liegt ganz ausserhalb des Hyperboloids ; ihre Doppelcurve durchdringt das Hy-
perboloid in jenen 4 Punkten, welche Pinchpoints für sie sind; die beiden Stücke
der Doppelcurve im Innern des Hyperboloids verlaufen isoliert. Die Raumcurve
4. Ord. lässt sich als ebene Curve mit drei reellen Doppelpunkten, worunter
auch einer oder zwei isoliert sein können, oder mit einem reellen und zwei
conjugiert imf\ginären Doppelpunkten projicieren. Mark 50. — .

„ 3. Raumcurve 4. Ord. ohne reelle Punkte mit Wendeebenen und ohne reelle, sie

schneidende Tangenten. Die Curve verläuft vier Mal durchs Unendliche und
kann überhaupt nicht ganz ins Endliche gelegt werden. Die abwickelbare Fläche
liegt ganz innerhalb des Hyperboloids; ihre Doppelcurve ist imaginär. Die Raum-
curve projiciert sich mit dreifachem Punkte, oder mit drei reellen Doppelpunkten,
von denen einer isoliert sein kann. Mark 30. — .

„ 4. Raumcurve 4. Ord. mit zwei Streckungspunkten, in denen drei consecutive

Curvenpunkte in gerader Linie liegen. Diese Curve ist speciell, sie bildet den
Uebergang von 1 nach 2. Die abwickelbare Fläche zeigt eine Doppelcurve von
gleicher Beschaffenheit, wie die gegebene Raumcurve und ausserdem zwei Rück-
kehrgeraden, nämlich die Tangenten in den Streckungspunkten. Im Fall 1 ver-
einigen sich diese Rückkehrgeraden mit der Doppelcurve, wobei dann die Spitzen
entstehen; im Fall 2 verschwinden sie. Mark 40. — .

60 Serie XXI.

Nr. 5. Raumourve 4. Ord. mit zwei reellen Punkten mit Wendeebenen und zwei reellen,

sie eolineldenden Tangenten; sie verläuft zwei Mal durchs Unendliche, kann
aber ganz ins Endliche gebracht werden. Von dem Fundamentaltetraeder sind
hier nur noch zwei Gegenkanten reell, von denen eine als Axe des Hyperboloids
in der Ebene des Kehlkreises gewählt ist. Die Raumcurve ist nur noch in
Bezug auf diese Axe symmetrisch. Die abwickelbare Fläche liegt teils im
Innern des Hyperboloids, teils ausserhalb; ihre Doppelcurve ruht in zwei
Spitzen auf demselben und durchdringt es in zwei anderen Punkten; letztere
sind wieder Pinchpoints der Fläche. Das Stück der Doppelcurve, welches ausser-
halb des Hyperboloids sich befindet, verläuft isoliert. Mark 50. — .

„ 6. Speoiaifall des vorigen. Die beiden Punkte mit Wendeebenen fallen mit den
Schnittpunkten der beiden schneidenden Curventangenten zusammen. Natürlich
ist auch diese Curve nur in Bezug auf eine Axe symmetrisch. Die abwickelbare
Fläche besitzt eine dreifache Curve — im Modell ist sie ein Kreis — , die
dadurch entsteht, dass im Fall 5 jede Spitze der Doppelcurve mit einem ihrer
beiden Durchdringungspunkte (Pinchpoints der Fläche) zusammenrückt. Ein
Teil des dreifachen Kreises liegt im Innern des Hyperboloids, durch ihn geht
nur ein Flächenmantel, der andere Teil liegt ausserhalb und in ihm durchsetzen
sich drei Flächenmäntel. Mark 45. — .

„ 7. Raumcurve 4. Klasse, die aus No. 6 durch reciproke Raumtransformation

abgeleitet Ist ; sie liegt auf einem Kreiscylinder und besitzt zwei Spitzen. Die
Erzeugenden ihrer abwickelbaren Fläche liegen zu drei und drei in den Tan-
gentialebenen jenes Cylinders, und deren Doppelcurve ist wieder eine Raumcurve
4. Ord. Mark 45.—.

Aeussere Begrenzung der Modelle 20 cm>

Preis der sranzen Serie 300 Mark.

Von den Raumcurven 4. Ordnung erster Species und ihren
abwickelbaren Flächen existieren bereits mehrfältig Fadenmodelle.
Eine Modellierung der Raumcurven 4, Ordnung zweiter
Species bietet indes in mancherlei Hinsicht noch grösseres Interesse
als die vorerwähnten Raumcurven und scheint nur wegen der sich
dabei darbietenden Schwierigkeiten bislang unterblieben zu sein.
Einmal lassen sich die Curven 4. Ord. erster Species als Schnitt
zweier Flächen 2. Cirades (zweier Kegelflächen) leichter vorstellen
und ihre verschiedenen Gestalten leichter übersehen, als dieses bei
den Raumcurven 4. Ord. zweiter Species der Fall ist, die als teil-
weiser Schnitt eines Hyperboloids mit einer Fläche 3. Grades er-
scheinen. Zum andern ist der Reichtum der Gestalten bei letzteren
grösser, als bei ersteren. Drittens zeigen sich bei letzteren Vor-
kommnisse, die bei ersteren nicht eintreten können, und die besonders

Serie XXI. 51

auf die Gestaltung der abwickelbaren Fläche und ihrer Doppelcurve
von wesentlichem Einfluss sind. Es ist hier das Vorkommen von
Curventangenten gemeint, die die Curve noch in einem weiteren
Punkte schneiden.

Bei den Raumcurven 4. Ord. zweiter Species existiert ein
Fundamentaltetraeder; in Bezug auf dieses gruppieren sich die
Curvenpunkte zu je vier derart, dass ihre 6 Verbindungslinien die
Gegenkanten des Tetraeders paarweise treffen und dass sie durch
die Kanten harmonisch getrennt werden. Drei der Kanten des
Tetraeders sind Doppelsecanten der Curve, sie schneiden sich in
einer Tetraederecke, die wir als Hauptpunkt bezeichnen. Das
Tetraeder ist zugleich Polartetraeder für das Hyperboloid, auf dem
die Curve gelegen ist. Bei den Modellen i, 2, 3 und 4 wurde nun
ein Rotationshyperboloid, sein Mittelpunkt als Hauptpunkt und seine
Axen als Doppelsecanten aus ihm gewählt. Es ist das keine
Specialisierung, kann vielmehr aus der allgemeinen Lage durch
räumliche CoUineation abgeleitet werden. Zu jedem Curvenpunkte
findet man dann drei weitere, indem man auf die Axen Lote fällt
und diese um sich verlängert; d. h. dreht man die Curve um eine
der drei Axen um 180®, so nimmt sie wieder die nämliche räum-
liche Lage ein. Durch Verwendung dieser Symmetrieverhältnisse
in Bezug auf die Axen gewinnt die Raum curve und ihre abwickel-
bare Fläche ungemein an Übersichtlichkeit. Als Curvenpunkte von
besonderer Bedeutung treten erstens die 4 Punkte mit Wende-
berührebenen (Ebenen mit 4 consecutiven Curvenpunkten) auf. Die
Doppelcurve der abwickelbaren Fläche geht durch sie hindurch und
sie erscheinen deshalb als Pinchpoints derselben. Zweitens gibt es
4 Curventangenten, die die Curve noch in einem w^eiteren Punkte
schneiden. Diese Punkte bilden Spitzen für die Doppelcurve, und
längs jener Tangenten durchschneidet die abwickelbare Fläche das
Hyperboloid.

Es mag noch erwähnt werden, dass von dem Hyperboloid, auf
dem die Raumcurve liegt, bei den Modellen nur die Schar von
Erzeugenden angegeben ist, welche Trisecanten derselben sind.

Eine Abhandlung wird beigefttgt.

Veröffentlicht 1892.

4«

52 Seri« xxa.

Serie XXII.

Drei Cartonmodelle über die Krümmung der

Flächen.

Nach den an der Grossh, techn. Hochschule zu Karlsruhe

unter Leitung von Geh. Hofrat Professor Dr. Chr. Wiener

hergestellten Originalen entworfen von

Ingenieur C. Tesch,

früher Assistent der darstellenden Geomeirie an der techn. Hochschule

zu Karlsruhe.

Sind 7*1 und r^ die Hauptkrümmungsradien einer Fläche in
einem gewissen Punkte, so sind für das Gauss'sche Krümmungsmass
folgende drei Fälle zu unterscheiden:

11 Die Krümmungskreise liegen auf derselben Seite der Berührungs-

Nr. 1. — . T~ ^ 0- u

r 1 r 3 ebene.

1 1 ^ Der eine der Hauptkrümmungskreise ist in eine Gerade über-

" ' r^ ' r^ ' gegangen.

1 1 Die Krümmungskreise liegen auf den entgegengesetzten Seiten

" '^1*^8 der Berührungsebene.

Aus den passend gewählten Hauptkrümmungsradien sind' für
diese drei Fälle die Krümmungsradien von Normalschnitten in Ab-
ständen von 15® zu 15® bestimmt, und die Krümmungskreise durch
Cartonscheiben in den Modellen zur Darstellung gebracht. Sie
werden durch eine zweite Schar von Cartonscheiben, welche auf
der Flächennormale senkrecht stehen, zusammengehalten.

Höhe der Modelle 18, löVa und 22 Va cm.
Eine kurze Abhandlung wird beigefügt.

Preis der gfanzen Serie 16 Mk.

Veröffentlicht 1894.

Serie XXIH. 68

Serie XXIII.

Einfache Modelle der Flächen zweiter Ordnung

und des Cylindroids,
vorzugsweise zum Gebrauehe für Studierende.

A. GipS'^Moclelle der Flächi^n zw^eiter Ordnung.

Diese stellen die fttnf Fälle der nicht ausartenden Flächen zweiter Ordnung dar;
auf jedem Modell ist eine Anzahl von Curven eingeritzt.

Nr. 1. Das drelaxlge Elllpsold (Grösse 10x8x6 cmO;

a. mit den drei Ellipsen der drei Hauptschnitte und einer Anzahl ebener
Schnitte, deren Ebenen auf der grössten Axe senkrecht stehen. Mark 1.50.

b. mit Krttmmungslinien. Mark 2. — .

„ 2* Das SinSChaligS Hyperboloid mit Geraden der beiden Scharen von Erzeugenden.

Die Innenwandung des Modells enthält den Asymptotenkegel mit den beiden

Hauptschnitten. (Höhe 12 cm.) Mark 2.20.
„ 3.* Das zwelsohalige Hyperboloid mit den Hauptschnitten und mit einer Schar

paralleler ebener Schnitte, deren Ebenen auf der reellen Axe senkrecht stehen.

Das Modell besitzt denselben Asymptotenkegel wie das vorige. Die beiden

Schalen der Fläche sind durch Stäbchen in der Hchtigen Entfernung mit

einander verbunden. (Höhe 12 cm.) Mark 2.20.

„ 4. Das elliptische Parabolold. (Höhe 11 cm.) Mark 1.80.

„ 5. Das hyperbolische Parabolold. (Grösse 9x7 Va cm.) Mark 1.80.

Auf Nr. 4 u. 5 sind die Hauptschnitte und eine Schar von ebenen Schnitten,
deren Ebenen zur Paraboloidaxe senkrecht stehen, eingeritzt.

B. Faden'^Modelle einiger einfachen Fl&cHen

von Professor Dr. If. Wiener in Darmstadt.

„ 6. Veränderliches Umdreh*Hyperboloid mit zwei Scharen von Erzeugenden.
(Durchmesser 10 cm.) Mark 2.80.

Das Modell stellt ein einschaliges Umdreh-Hyperboloid dar, das durch zwei
gleich grosse Kreise begrenzt ist. Dadurch, dass die Schnittpunkte beider
Scharen von Erzeugenden mit dem einen Begrenzungskreis festgehalten werden,
während in dem anderen die Schnittpunkte der einen Schar gegen die der
zweiten Schar gedreht werden, ändert das Hyperboloid seine Gestalt zwischen
Cylinder und Kegel als Greuzlagen.

54 Serie XXni.

Nr. 7. Ranmourve vierier Ordnung mit unendlich fernem isolierten Doppelpunkt.
(Grösse 12x14 cm.) Mark 3.20.

Diese Curve, die für die in den Nummern 8 bis 10 dargestellten Gebilde von
Bedeutung ist, erscheint als Schnitt dreier Cylinder, von denen der eine ein
Umdrehcylinder, die beiden anderen parabolische Cylinder sind. Die drei
Cylinder sind in einem Messingrahmen durch Fäden dargestellt.

„ 8 a* u. b. Das rechtwinklige Parabolold. Preis je Mark 2.—.

Die Fläche ist durch die (schon in Nr. 7 dargestellte) Raumcurve begrenzt
gedacht, in der sie von einem Umdrehcylinder getroffen wird, der dieselbe
Axe wie das Paraboloid besitzt. Das ganze Modell besteht aus einem diese
Curve darstellenden durchbohrten Messingdraht, zwischen welchem Fäden als
Bilder der beiden Scharen von Erzeugenden gezogen sind.
Das Modell ist in zwei Ausführungen angefertigt

a. in der Höhe von 13 cm. und der Breite von 12 cm.

b. in der Höhe von 7Vs cm. und der Breite von 15 cm.

Bei a ist die Begrenzungscurve dieselbe wie bei Nr. 7; bei b ist sie durch
Aufwickelung einer reinen Sinuslinie auf einem Umdreh-Cylinder entstanden
gedacht, so dass sie sich nach zwei vollen Wellen schliesst.

„ 9 a u. b. Das Cyllndrold (PlllokerSCheS Conold). Preis je Mark 2.—.

Das Modell besteht aus demselben Begrenzungsdraht, wie das vorige, nur mit
anders eingezogenen Fäden. 9 a stimmt in seiner Begrenzungscurve mit 8 a,
9 b mit 8 b tiberein.

„ 10.* Das Cyllndrold und das rechtwinklige Parabolold vereint. Mark 5.40.

Das rechtwinklige Paraboloid ist der geometrische Ort aller Punkte, die von
zwei gegebenen Geraden gleichweit abstehen. Es hat zu unendlich vielen
Geradenpaaren diese Lage, und diese sind die Erzeugenden eines Cylindroids.
Das Modell gibt diese beiden Flächen in dieser Lage vereint wieder. Die
Begrenzungen sind dieselben wie bei 8 b und 9 b.

Preis der gamen Serie 80 Mark.

Für die Fadenmodelle sind auch passende Stative angefertigt, die auf Wunsch
mitgeliefert werden.
Stativ Nr. 1. DrolfuSS zum Aufhängen des Modells No. 6. Mark —.50.

„ „ 2. Gestelle ans Draht als Untersatz für die Modelle Nr. 8 a, b. und 9a, b.
je Mark — .30.

•

Zu den wichtigsten Bestandteilen der bis jetzt herausgegebenen
Modelle gehören diejenigen Serien, welche die Modelle von Flächen
zweiter Ordnung enthalten. Sind letztere doch durch ihre mannig-
faltigen Formen und durch die Fülle schöner geometrischer Be-
ziehungen vorzugsweise geeignet, dem Studierenden den Nutzen
und die Bedeutung des Modells als wichtiges Unterrichtsmittel nahe
zu legen und ihm hiermit rascher und sicherer über die Schwierig-
keiten abstracter Theorien hinweg zu helfen. Wenn nun auch die

Serie XXm. 55

Gips- und Fadenmodelle der III. und IV. Serie zur Demonstration
in den Hörsälen völlig ausreichen, so machte sich doch das Be-
dürfnis gleitend, Modelle kleinerer Abmessung zu thunlichst billigem
Preise herzustellen, um auch dem Studierenden deren Anschaffung
zu ermöglichen. Durch die Güte des Herrn Professors SC, WUticzy
dessen Anregung diese Serie ihre Entstehung verdankt, wurden aus
der reichen Sammlung seines Instituts die betreffenden Modelltypen
der Verlagshandlung zur Vervielfältigung freundlichst überlassen.
So entstand eine Reihe von kleinen, zierlichen Gips- und Faden-
modellen, die in dieser Art allgemeinen Anklang gefunden haben.

Veröffentlicht 1898.

68 Serie XXIV.

Serie XXIV.

Kinematische Modelle

herausgegeben
von Professor Dr. Fr. Schilling in Göttingen.

I. Gruppe.

Nr. 1.* Erzeugung der Epitrocholden als solche mit freiem Centrum. Mk. 56.—.

„ 2. Erzeugung der Epltrooholden als solche mit bedeoktem Centrum. „ 67.—.

„ 3. Erzeugung der Hypotrooholden als solche mit freiem Centrum. „ 59. —

„ 4. Erzeugung der Hypotrocholden als solche mit bedeoktem Centrum. „ 64.—.

II. Gruppe.

,, 6. Erzeugung von Ellipsen und strecken Mk. 59.—.

„ 6. Erzeugung von Krelsevolventen „ 66.—.

„ 7. Erzeugung von Cyololden „ 58.—.

III. Gruppe.

„ 8. Glelohläuflges Zwiilingekurbelgetriebe Mk. 20. -.

„ 9.* Gegenlänflgee Zwillingskurbelgetriebe „ 24.—.

IV. Gruppe.

„ 10.* Inversor von Peaucelller Mk. 22.—.

„ 11. Inversor von Hart „ 22. — .

„ 12. Inversor von Sylvester-Kempe „ 28.—.

Grösse der Modelle ca. 22x27 cm.

Freie der ganzen Serie 545 Mark.

Mit diesen Modellen hat Herr Professor Schilling den Ge-
danken zu verwirklichen begonnen, der auf der Versammlung der
Deutschen Mathematiker- Vereinigung zu Frankfurt (1896) unter all-
seitiger lebhafter Zustimmung ausgesprochen wurde : es möge eine
Sammlung einfacher kinematischer Modelle herausgegeben werden,
welche die wichtigsten Mechanismen derart zur Anschauung bringt,
dass der mathematische Grundgedanke überall deutlich hervortritt.

Serie XXIV. 57

Die Orig-inalmodelle der Sammlung* haben der Ver-
sammlung in Düsseldorf (1898) vorgelegen und den
vollen Beifall der Teilnehmer gefunden.

Der bequemen Übersicht weg'en sind die Modelle in vier
Gruppen geordnet.

Die vier Modelle der ersten Gruppe stellen die Erzeugung
der allgemeinen cyclischen Curven durch Abrollung eines be-
weglichen Kreises auf einem festen Kreise dar. Je zwei einander
entsprechende Modelle zeigen neben anderen Eigenschaften
die bekannte doppelte Entstehungsweise der Epitrochoiden und
Hypotrochoiden.

Die drei Modelle der zweiten Gruppe repräsentieren die
speciellen Fälle der cyclischen Curven. Sie zeigen die Er-
zeugung von Ellipsen und Strecken durch Abrollung eines Kreises
in einem solchen von doppeltem Radius, die Erzeugung von ver-
schlungenen, gespitzten und gestreckten Kreisevolventen und Cycloiden
durch Abrollung einer Geraden auf einem Kreise oder eines Kreises
auf einer Geraden.

Die dritte Gruppe zeigt in zwei Modellen das sogenannte
g-leichläufig-e und das gegenläufige Zwillingskurbel-
getriebe mit ihren Polbahnen, zwei congruenten Ellipsen
oder Hyperbeln.

Die vierte Gruppe endlich veranschaulicht in drei Modellen
die Inversoren von Peaucellier, Hart und Sylvester-
Kempe. Durch eine einfache Einrichtung wird in jedem Apparat
einer der einander zugeordneten Punkte auf einem Bogen entweder
eines durch das Inversionscentrum gehenden Kreises oder eines
das letztere einschliessenden Kreises geführt, so dass der zu-
geordnete Punkt entweder eine Strecke oder ebenfalls einen Kreis-
bogen beschreibt.

Eine eingehende Beschreibung der Modelle mit Ab-
bildungen ist in der Zeitschrift für Mathematik und Physik, Jahr-
gang 1899, Heft 4, erschienen.

Eine ausführliche Abhandlung wird beigefügt.
Veröffentlicht 1898.

58 Serie XXV.

Serie XXV.

Sieben Fadenmodelle der Kegel dritter Ordnung

von
Professor Dr. H. Wiener in Darmstadt.

A. Kegel vom Geschlechte Null.

Nr. 1.* 1. Kegel mit Rtickkehrkantc Mk. 18.—.

(▼on der dritten Klasse).

2. Kegel mit Doppelkante

(Ton der vierten Klasse), die

„ 2. a. als Selbstschnitt, » 18. — .

„ 3. b. als isolierte Doppelkante auftritt. . . • „ 20. — .

B. Kegel vom Geschlechte Eins

(von der sechsten Klasse).

„ 4.* 1. aus einem paaren und unpaaren Mantel bestehend; ... „ 20. — .

2. aus einem einzigen unpaaren Mantel bestehend,

„ 5. a. in Dreikantslage „ 16. — .

„ 6.* b. in Vierkantslage, , 20. — .

„ 7. c. mit drei durch eine Gerade gehenden Wendebertihrebenen. „ 16. — .

Höhe der Modelle 17 cm.

Preis der ganzen Serie 128 Hark.

Eine Einteilung^ der ebenen Curven dritter Ordnung,
wie sie der Unterscheidung- der Curven zweiter Ordnung in Ellipse,
Hyperbel und Parabel entspricht, hat zuerst Slcwton unternommen.
Indem er die verschiedenen Gestalten ihrer Gleichung untersucht,
wird er auf 72 verschiedene Curvenarten geführt, von denen
er nebenbei bemerkt, dass sie sich aus fünf besonderen Curven,
den ,, divergierenden Parabeln" durch Protection ableiten lassen.
Nach ihm griff &7lc6ius die Aufgabe wieder auf; er verzichtet aber
gänzlich auf eine genauere Einteilung der Curven in Arten und will
nur die wichtigsten Gattungen feststellen, aus denen durch Projection

Serie XXV. 69

alle übrigen gewonnen werden können. Um keine einzelne vor
den anderen gleichberechtigten auszuzeichnen, setzt er an die
Stelle derCurven die projicierenden Kegel und unterscheidet
von diesen 7 Gattungen.

Ist das Geschlecht der Curven also auch der projicierenden
Kegel, gleich Null, so giebt es nur drei projectiv verschiedene
Gestalten von Kegeln, während es für das Geschlecht Eins deren
unendlich viele giebt. Aber unter den letzteren sind doch wesent-
liche Unterschiede in der Gestalt vorhanden. So kann ein solcher
Kegel entweder allein aus einem unpaaren Mantel oder aus einem
solchen und einem hinzutretenden paaren Mantel bestehen, und
man wird bei Berücksichtigung dieses Unterschiedes zwei Gattungen
von Kegeln vom Geschlechte Eins zu unterscheiden haben, die zu-
sammen mit den drei Gattungen vom Geschlechte Null den 5
Newton'schen Parabeln entsprechen. Aber unter den einmanteligen
Kegeln von Geschlechte Eins gibt es noch einen ausgezeichneten,
bei dem nämlich die drei Berührebenen der Wendekanten durch
eine Gerade hindurchgehen, und dieser ist ein Zwischenglied zwischen
solchen, bei denen der Kegelmantel sich entweder durch drei Drei-
kante oder durch drei Vierkante hindurchwindet, die durch jene
drei Berührebenen und die Ebene der drei Wendekanten begrenzt
werden. So kommt man mit dJIöSius zu den 7 Gattungen
von Kegeln, die durch die vorliegenden Fadenmodelle
dargestellt werden. Diese Modelle sollen also auch haupt-
sächlich dem Studium derCurven dritter Ordnung dienen,
insofern es diejenigen Gestalten betrifft, die durch ihr Verhalten
gegen die unendlich ferne Gerade bedingt sind. Legt man irgend
eine schneidende Ebene durch einen der 7 Kegel dritter Ordnung,
so erhält man eine Schnittcurve, die drei unendlich ferne
Punkte besitzt. Von diesen können sein:

a. alle drei getrennt, und zwar

a. alle drei reell,

ß. einer reell und zwei conjugiert imaginär;

b. zwei zusammenfallend und einer davon getrennt,

c. alle drei in einen einzigen zusammenfallend.

Dabei kann das Zusammenfallen zweier Punkte bei b und c ver-
schiedene Ursache haben, je nachdem die unendlich ferne Gerade
die Curve berührt oder durch einen Doppelpunkt geht.

60 Serie XXV.

Diese Unterschiede ergeben eine gewisse Einteilung der Curven
in Arten, denen eine feinere Teilung in Unterarten noch folgen
kann; und je nachdem die Teilung mehr oder weniger weit verfolgt
wird, erhält man auch verschiedene Anzahlen von Curv en-
gestalten. So zählt Stcwion deren 72, bei denen aber (trotz
seiner Einteilung in 5 Parabeln) alle 7 Kegel zur Verwendung
kommen, S*(ii<Acz zählt 216 Arten, SaCmon unter Zugrundelegung
der 5 -Teilung 30 Unterarten.

Will man an den Modellen die Gestalt der Schnittcurve irgend
einer gedachten Ebene erkennen, so lege man durch die Kegel-
mitte eine Parallelebene. Aus der Art des Schnittes der letzteren
geht die Art, Zahl und Richtung der Asymptoten (reelle,
imaginäre, parabolische) der Schnittcurve hervor, und daraus lässt
sich die Gestalt der Curve selbst ohne weiteres absehen.

Die Kegel selbst verdienen insbesondere auch als
einfache Beispiele von Kegeln unpaarer Ordnung Be-
achtung. Ein Strahl, der einen solchen erzeugt, kehrt dabei nicht
in gleichem, sondern in umgekehrtem Sinne in die Anfangslage
zurück. Bei projectiver Auffassung zerlegt ein unpaarer Kegel,
der sich nicht selbst durchsetzt, den Raum nicht in zwei Gebiete,
und seine Fläche dient als Beispiel einer einseitigen Fläche
im Möbius'schen Sinne.

Der Anschaulichkeit halber sind die Kegel mit möglichst
vielen Symmetrie -Ebenen und -Axen ausgestattet, je eine in
Nr. I und 2, je drei in Nr. 3 bis 7.

Eine ausführliche Abhandlung wird beigefügt.

Veröffentlicht 1899.

Serie XXVI,

Serie XXVL

Hilfsmittel für den Unterricht in darstellender

und projectiver Geonnetrie.

A. Zehn Gips^Modelle architektonisclier Polyeder

von

Dr. Guido Hauck,

Professor an der Königl. technischen Hochschule in Berlin.

Nr.

1. Einfaches Grabkreuz.

2.'*' Gothiechee Grabkreuz.

3. Denketein.

4. WarttOrmchen.
5.* Gruflbau.

Nr. 6. Achteeltige Säule.
„ 7. Romanleche Säule.
8.'*' Branneneäule.
9. Achteeltigee Turmchen.
10.* Secheeeltigee TOrmohen.

»>

Höhe der Modelle 22—26 cm.
Einzelne Nummern 13 Mark.

Preis der ganzen Abteilung 120 Mark.

Zum Schutze der Modelle, insbesondere gegen Staub, sind passende Glaeglocken
mit Holzunteraätzen hergestellt, deren Anschaffung sich empfiehlt, da die Modelle
meistens auch während der Benutzung in den Zeichensälen unter den Glocken stehen
bleiben können und so erheblich geschont werden. Die Preise der Glocken nebst
Untersätzen zu den einzelnen Nummern stellen sich folgendermassen :

:u Nr. 1

Mark 5, —

zu Nr. 6 Mark 2,75

t» >» '^

„ 3,75

.. 5,

« « 3

„ 8,50

« 11 8

„ 2,75

M Ö,

'1 11 "

.. 5,—

J» u ö

„ 6,50

„ ., 10

„ 3,75

Insgesamt 48 Mark.

Die unten wiedergegebene kurze Anleitung zum Gebrauch dieser Modelle wird
in zwei Exemplaren beigefüg^t, von denen eins zum Aufhängen auf Pappe^ gezogen ist.

62 Serie XXVI.

B. Acht Modelle,

von

Professor Dr. Fr. ächiUing in Göttingen.

Nr. IIa.* Grosse ProJeCtIonstafel mit zwei Hilfstafeln, 8 Stahlstäben,
4 mit Messingkugel an einem Ende, 4 an beiden Enden spitz, und 10
Korkkugeln. (Grösse 110x90 cm.) Mark 70.—.

„ IIb. Festes Gestell zum Aufhängen der Tafel. Mark 16.-.

„ 12. Kleine Projectionstafei aus Pappe mit Schiefertafelpapier bezogen.
(Grösse 52x45 cm.) Mark 3.—.

„ 13.* Durchdringung von Pyramide und Prisma. (Grösse 68x48x50 cm.)

Mark 20.—.

„ 14. Gerader KrelSCyllnder mit elliptischem Schnitt nebst 10 Bogen Papier,
um die Abwickelung der Schnittcurve darzustellen. (Höhe 42 cm., Durch-
messer 24 cm.) Mark 8. — .

„ 15. Zwei OOngruente Ellipsen mit gemeinsamer kleiner Axe, sich rechtwinklig
schneidend, dem vorigen Modell entsprechend. Mark 10. — .

„ 16.* Drei Schraubenlinien derselben Ganghöhe mit gemeinsamer Axe. (Höhe
70 cm.) Mark 60.—.

„ 17. Einzelne Sohraubenllnie mit 5 Windungen. (Höhe 50 cm.) Mark 5.—.

„ 18.* Projective Erzeugung der Kegelsohnitte. (Grösse 70x52 cm.) Mark 75.—.

Nr. 1 — 10. Für den Anfangsunterricht in der darstellenden
Geometrie besteht ein^i überaus wichtige und fruchtbare Übung", um
das Verständnis für die Darstellung in Grund- und Aufriss zu fördern,
darin, dass dem Schüler das Modell eines Körpers in die Hand
gegeben und ihm die Aufgabe gestellt wird, davon in vor-
geschriebener Stellung den Grundriss und Aufriss zu zeichnen.
Es werden hierfür meist die elementaren stereometrischen Körper,
namentlich die regulären Polyeder, verwendet. Der Bestand der-
selben ist aber ein recht spärlicher; auch sind sie vermöge ihrer
durchgängigen Convexität zu gleichartig und zu einfach. Eine
Folge hiervon ist die häufig beobachtete Erscheinung, dass Schüler,
die in der theoretischen Projectionslehre Tüchtiges leisten, mitunter
nicht imstande sind, die einfachsten architektonischen Grundrisse
zu verstehen und aus dem Grundriss und Aufriss das räumliche
Object sich zur inneren Vorstellung zu bringen. Gewiss werden
Prismen, Pyramiden, Obelisken u. s. w. immer den (Grundstock des
Übungsstoffes bilden müssen. Aber doch erscheint die Herbei-
ziehung von reicher gegliederten Polyederformen für den angegebenen
Zweck höchst wünschenswert. Denselben muss eine gewisse Regel-
mässigkeit im Aufbau zukommen; die Beschränkung auf durch-
gängige Convexität der Flächenwinkel muss aber aufgegeben werden.

Serie XXVI. 63

Modelle dieser Art können leicht durch* geometrische Stilisierung-
von architektonischen Motiven g-ewonnen werden. Eine Auswahl
solcher enthält die vorliegende Sammlung von lo Modellen.

Beim Aufnehmen dieser Modelle in Grund- und Aufriss wird
man im allgemeinen in der Art vorgehen, dass man zuerst die
geometrische Form der Grundrissfigur in freihändiger Skizzierung
zu ergründen sucht und dann an der gewonnenen Skizze in Erwägung
zieht, welche Abmessungen am Modell erforderlich sind, um die
Figur geometrisch exact construieren zu können. Ist hierauf der
Grundriss aufgezeichnet, so erfolgt die Construction des Aufrisses
durch Ziehen der Grundlote und Auftragen der Höhen auf ihnen,
wobei der jedesmalige Höhenunterschied zwischen zwei Punkten
ermittelt wird als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen
andere Kathete die Grundrissprojection der Verbindungsstrecke der
zwxi Punkte und dessen Hypotenuse die am Modell abzumessende
wahre Länge der Verbindungsstrecke ist.

Die sich etwa anschliessenden weiteren Übungen (wie Her-
stellung des Seitenrisses, eventuell des Diagonalrisses, ebener Schnitte,
der Cavalierperspective, der malerischen Perspective, Schattencon-
structionen u. s. w.) sind dann ohne Zuhilfenahme des Modells
auszuführen, mit blosser Benutzung des Grundrisses und Aufrisses,
aus welchen der Schüler lernen muss, sich die plastische Form in
seiner inneren Anschauung zu vergegenwärtigen. Nur beim Eintreten
von grösseren Vorstellungsschwierigkeiten mag das Modell als
ultima ratio — und auch dann nur vorübergehend — zu Rate ge-
zogen werden.

Nr. 11 — 18. Diese Modelle für den Unterricht in darstellender
und projectiver Geometrie zeigen ein ganz anderes Gepräge, als
die sonst wohl bisher erschienenen Modelle ähnlicher Art. Ihre
Herausgabe war eben wesentlich durch den Umstand veranlasst,
dass es an solchen in hinlänglich grossem Massstabe ausgeführten
Modellen, die auch in sehr grossen Auditorien mit Vorteil benutzt
werden können, bisher gänzlich fehlt. Die Modelle zeigen nicht
besonders schwer vorzustellende geometrische Gebilde; aber jeder
Lehrer der darstellenden Geometrie weiss, welche grosse Schwierig-
keit einerseits selbst einfache Dinge dem Anfänger bei der rein
sinnlichen Vorstellung bereiten, wie überaus leichter und schärfer
andererseits sich die Ausdrucksweise des Vortrages gestalten lässt,
wie viel einfacher sich die gewünschte geometrische Vorstellung

64 Serie XXVI.

bei den Zuhörern erweck'en lässt, wenn man Hilfsmittel zur Hand
hat, an die man die Erläuterung unmittelbar anknüpfen kann. Wie
viel leichter lassen sich z. B. schon die Grundvorstellung-en schildern,
die sich auf die Grund- und Aufrisstafeln beziehen, wenn ein ge-
eignetes, bewegliches Tafelmodell bei der Erklärung benutzt
werden kann.

Die vorliegenden Modelle dürften, ebenso wie die der ersten
Abteilung dieser Serie, gerade jetzt um so gelegener kommen, wo
auch an den Universitäten die darstellende Geometrie als regelmässiger
Lehrgegenstand ihre Einführung findet. Im folgenden seien der
Reihe nach kurz die einzelnen Modelle besprochen und ihre An-
wendungsweisen erläutert.

Modell IIa. Die grosse Projectionstafel, nach Art der Schul-
wandtafeln hergestellt, besteht aus zwei Teilen, welche der ersten
und der zweiten Tafel des Grund- und Aufrissverfahrens entsprechend
im rechten Winkel gegeneinander eingestellt werden können, und
zwar mittelst selbstthätigen Einschnappens eines Hebels. Gerade
diese Tafel dürfte ganz besonders gute Dienste im Unterricht leisten.
Der Tafel selbst werden noch zwei kleinere Hilfstafeln beigegeben,
die in die grosse leicht eingesetzt werden können. Von diesen
stellt die eine die Seitenrissebene dar, die dann ebenfalls umge-
klappt werden kann und überdies eine Vorrichtung trägt, um genau
im rechten Winkel gegen die Grund- und Aufrisstafeln eingestellt
werden zu können. Die andere Hilfstafel stellt eine allgemein
gelegene Ebene Üar und ist um ihre erste Spur in die erste Tafel
umlegbar. Endlich gehören zu der ganzen Vorrichtung noch acht
Stahlstäbe, von denen vier einerseits zur Darstellung von Punkten
in Messingknöpfe endigen, während die übrigen zur Darstellung
von Geraden beiderseits in Spitzen auslaufen und somit leicht in
jede beliebige Lage in die Projectionstafel eingesetzt werden können.
Die- zweite tlilfstafel besitzt ungefähr in der Mitte noch eine Durch-
bohrung, um jeden der Stäbe hier einsetzen zu können. Beigegeben
sind den Stäben noch mehrere durchlochte Korkkugeln, welche zur
Bezeichnung von Punkten dienen sollen.

Modell IIb. Das Gestell dient zum Aufhängen der Pro-
jectionstafel. Es bietet den Vorteil, dass man die Tafel an jeder
beliebigen Stelle des Hörsales aufstellen kann. Man kann die
Tafel aber auch fest an die Wand oder mit geeigneten übergreifenden
Haken über andere Tafeln des Hörsales aufhängen.

Serie XXVI. 65

Über die überaus vielseitige Benutzung dieser Projectionstafel
brauchen wir kaum zu sprechen. Alle die Vorlesung einleitenden
Elementaraufgaben, die sich auf die mannigfache Verknüpfung von
Punkten, Geraden und Ebenen (Schnitte zwischen Geraden und Ebenen,
Neigungen derselben gegen die Tafeln, Hauptlinien der Ebene,
kürzesten Abstand zweier Geraden und so fort) beziehen, finden
in denkbar einfachster Weise durch die geeignet zusammengestellte
Projectionstafel ihre unmittelbare Veranschaulichung. Um von
weiteren Aufgaben, für deren prläuterung die Tafel sich als bequemes
Hilfsmittel erweist, noch etwas zu nennen, sei z. B. an die Projectionen
des Kreises in allgemeinem Lage und an die Schattenconstructionen
beliebiger Körper erinnert, deren Modelle sich auf die erste Tafel
aufsetzen lassen.

Modell 12. Der grossen Projectionstafel ist noch ein kleines
Modell aus Pappe hinzugefügt, welches gleichfalls die Grund- und
Aufrisstafeln und ihre Umklappung in eine Ebene darstellen soll,
wobei jedoch die Tafeln über ihre Schnittlinie hinaus sich erstrecken.
Dies Modell findet z. B. auch sehr gute Anwendung für die Er-
läuterung der Affinität und centralen CoUineation, d. h. für die Be-
ziehung zweier Ebenen auf einander entweder durch Parallelstrahlen
oder durch Strahlen von einem im Endlichen gelegenen Punkte aus.

Modell 13 stellt die Durchdringung eines fünfseitigen Prismas
und einer dreiseitigen Pyramide dar. Ersteres ist leicht abzuheben
und zeigt dann besonders deutlich die Schnittlinie beider Körper,
die auch auf der Pyramide eingezeichnet ist, und den ihnen gemein-
samen Raumteil.

Modell 14, ein gerader Kreiscylinder mit elliptischem Schnitt,
ist so eingerichtet, dass der obere Teil gegen den unteren gedreht
werden kann. Bei halber Umdrehung' veranschaulicht das Modell
den mathematischen Gedanken bei dem einfachen Kreuzgewölbe,
zwei sich doppelt berührende gerade Kreiscylinder mit rechtwinkligen
Axen. Dem Modell beigegeben sind noch zehn Bogen Papier.
Wird ein solcher auf den Cylinder aufgerollt und dann längs der
Schnittcurve mit einem scharfen Messer eingeschnitten, so gibt er
abgenommen die Abwickelung der Schnittcurve mit mehreren
Perioden, die affine Curve einer einfachen Sinuslinie. Diese ein-
fache Methode ist wohl zuerst von Herrn Hermann Wiener in
Darmstadt beim Unterricht angewandt worden.

66 Serie XXVI.

Modell 15. Um die vollständige Schnittcurve bei dem soeben
beschriebenen Kreuzgewölbe besser übersehen zu können, ist diese
als Ergänzung des vorigen Modells aus starkem Aluminiumdraht
für sich dargestellt. Das Modell vor die Wandtafel haltend, er-
kennt man bei der Drehung desselben die verschiedenen Projectionen
der Schnittcurve (scheinbare Doppelpunkte), wenn man es nicht
vorzieht das Modell in den Lichtkegel eines Skioptikons zu halten
und so auf dessen Schirm zu projicieren.

Modell 16. Dieses zeigt drei «gewöhnliche Schraubenlinien
mit derselben Axe und Ganghöhe und zwar in zwei vollen Windungen.
Die Schraubenlinien selbst sind aus Messingdraht, die Axe und
Speichen aus vernickeltem Eisendraht sorgfältig hergestellt. Wird
es vor die Wandtafel gehalten, so lassen sich sowohl die senkrecht
zur Axe und Tafel ausgeführten Projectionen der verschiedenen
Schraubenlinien als affine Curven derselben Sinuslinie, wie ihre
schiefen Parallelprojectionen als affine Curven von Cycloiden ver-
anschaulichen. Im letzteren Falle ist es besonders lehrreich, das
Modell so anzusehen, dass die mittlere Schraubenlinie sich in der
Projection als affine Curve einer Cycloide mit Spitzen darstellt,
wobei dann die äussere als solche einer verschlungenen, die innere
als solche einer gestreckten Cycloide dem Auge erscheint. Dass
das Modell auch in manchen anderen Disciplinen, z. B. in der
Theorie der Raumcurven, in der Kinematik und in der Lehre vom
Nullsystem gute Verwendung findet, sei nur nebenbei bemerkt.

Modell 17. Es schien wünschenswert, noch eine einzelne
Schraubenlinie für sich darzustellen, doch nun mit sehr vielen
Windungen. Die Ausführung und Verwendung dieses Modelles ist
analog wie beim vorigen.

Modell 18 veranschaulicht die allgemeine projective Er-
zeugung der Kegelschnitte, speciell einer Ellipse. Auf einem Reiss-
brett, dessen Zeichenblatt
zunächst die ausgezogenen
Linien der nebenstehen-
den Figur in der Grösse
der Modelle zeigt, sind
in den vier Punkten T,
Gj, G2, K kleine Säulen
angebracht, welche den
Tangenten TGj, TGj

Seri« XXVI. 67

und den Geraden KGj, K G2 entsprechend feste Stäbe aus Stahl
tragen. Ausserdem sind noch aus Messing zwei weitere Stäbe
GjB und G2 A um die den Punkten Gj und G2 entsprechenden
Zapfen drehbar, und ein dritter Stab TAB um den dem Punkt
T entsprechenden Zapfen drehbar angebracht in der Anordnung,
wie sie in der Figur gestrichelt eingezeichnet ist. An den Schnitt-
punkten A und B befinden sich zwei kleine Griffe ; an diese an-
fassend, kann man leicht die beweglichen Stäbe drehen, deren
gegenseitige Bewegung mit Hilfe von mehrfachen längs den Geraden
gleitenden Prismenführungen sich von selbst regelt. An der Stelle
C ist dann ein in eine Spitze auslaufender Stift angebracht, der
hierbei auf der Ellipse entlang gleitet. Naturgemäss lässt sich nur
ein Teil der Ellipse durch den Stift beschreiben. Bei der Construction
des Modelles ist besondere Sorgfalt darauf verwandt, dass die
technischen Nebenteile durchaus nicht den mathematischen Gedanken
verdunkeln.

Zur mathematischen Erläuterung sei nur bemerkt, dass die
Punktreihen (A) und (B) der Geraden K G, und K G2 von T aus
durch die Gerade TAB perspectiv auf einander bezogen, und bez.
von G2 und Gj aus dann durch projcctive Strahlbüschel (G2 A) und
(Gj B) projiciert werden, deren entsprechende Strahlen sich in C
schneiden. Diese Erzeugung des Kegelschnittes lässt unmittelbar
den speciellen Fall des Pascalschen Satzes erkennen, bei dem zwei
Gegenseiten des Sechsecks in Tangenten ausgeartet sind, vvie die
Figur zeigt, in der TAB die Pascalsche Gerade ist.

Veröffentlicht 1901.

68 Serie XXVII.

Serie XXVIL

Drei räumliche Drahtmodelle eleotrischer
Aequipotential- und Knaftlinisn

nach Professor Dr. O. Lehmann in Karlsruhe
angefertigt auf Veranlassung" von

Dr. 0. Wiener,

Professor an der Universität Leipzig,

nach Zeichnungen von Dr. H. Scholl.

Nr. 1. Einem elektrischen Massenpunkte entsprechend. Mark 40. — .
„ 2.* Zwei gleichnamigen elektrischen Massenpunkten entsprechend. Mark 80. — .
„ 3 Zwei ungleichnamigen elektrischen Massenpunkten entsprechend. Mark 80. — .

Höhe der Modelle 85 cm.

Preis der ganzen Serie 200 Mark.

Die beiden Curvenscharen der Modelle sind aus rot und weiss
lackierten starken Messingdrähten hergestellt und werden von einem
Stativ getragen, so dass sie bequem aufgestellt werden können.
Sie sind durch eine handliche Vorrichtung zum Umlegen ein-
gerichtet, was zweckmässig erschien, um sie in zwei Lag'en bequem
projicieren zu können.

Die Modelle stellen den Verlauf der Aequipotential- und
Kraftlinien in einer Ebene dar, für den Fall, dass gegeben ist:
i) ein electrischer Massenpunkt;

2) zwei gleichnamige, gleichwertige electrische Massenpunkte;

3) zwei ungleichnamige, gleichwertige electrische Massen-

punkte.
O. Lehmann hat Flächenmodelle mit darauf gezeichneten
Niveau- und Kraftlinien in seinem Werke „Electricität und Licht'*
(Braunschweig, 1895, S. 15), sowie in der von ihm völlig umgear-
beiteten 14. Aufl. von J. Müllers Grundriss der Physik

Serie XXVII. 69

(Braunschweig, 1896, S. 484) beschrieben. Solche Modelle enthielt
die Sammlung' des physikalischen Instituts der Technischen Hoch-
schule in Karlsruhe, und es entstand die Anregung, ähnliche Modelle
für das Leipziger physikalische Institut anfertigen zu lassen, jedoch
mit dem Unterschied, dass nicht die Flächen selbst, sondern nur das
Gerippe der Niveau- und Kraftlinien durch steife Drähte dargestellt
werden sollte, aus dem weiter unten ersichtlichen Grunde. Die der
Construction der Modelle zu Grunde liegenden Zeichnungen
wurden durch Dr. II. Scholl ausgeführt.

Die electrischcn Massenpunkte bedingen in einer sie ent-
haltenden Ebene Potentiale, deren Werte in den drei Fällen beziehungs-

weise durch die Ausdrücke -—1 - — H — -, — dargestellt

r f] r.2 r, r2

werden, wenn s die Grösse der electrischen Masse und die r die
jeweiligen Abstände von den gegebenen Massenpunkten bezeichnen.
Denkt man sich diese Potentiale in jedem Punkte der Ebene senk-
recht zu ihr aufgetragen, so entsteht eine Fläche, welche im ersten
Falle die Form eines allseits eingedrückten Kegels hat, der in der
Nähe der Mitte sehr steil, gegen aussen hin langsamer abfällt, im
zweiten Falle die Form zweier kegelähnlichen Erhebungen, die in
der Mitte durch einen Sattel zusammenhängen, im dritten Falle die
Form einer kegelähnlichen Erhebung und einer ebensolchen Ver-
tiefung. Denkt man sich die Ausgangsebene horizontal gestellt
und schneidet jetzt die Flächen durch gleichweit abstehende
Horizontalebenen, so entstehen die Niveaulinien der Modelle, welche
durch weisse Drähte dargestellt sind. Sie werden überall senkrecht
geschnitten von den durch rote Drähte dargestellten Falllinien, das
sind Linien, deren Tangenten überall die Richtung anzeigen, welche
eine auf der Fläche losgelassene Kugel fallend einschlägt, oder
auch Linien, längs welcher Wasser an der Fläche hinabfliessen
würde, wenn es sich langsam, ohne merkliche Beeinflussung durch
die Trägheit, bewegte.

Beleuchtet man nun diese Drahtmodelle mit einem Büschel
paralleler Lichtstrahlen senkrecht zu den aufgestellten Niveauflächen
— für die Demonstration benutzt man am besten eine in grosser
Entfernung aufgestellte, der Linsen entblösste Bogenlampe — und
fängt den Schatten des Modells auf einem zu den Niveauflächen
parallelen Schirme auf, so bilden sich die Niveaulinien als electrische

70 Serie XXVn.

Aequipotentiallinien ab, die Falllinien als electrische Kraftlinien.
Es tritt dadurch sehr deutlich die Analog-ie zwischen
der Darstellung einer topographischen Fläche durch
Niveau- und F'alllinien mit der Darstell ung^ eines
electrischen Feldes durch die Aequipotcntiale und
Kraftlinien hervor. I^ wo die topographische Fläche am
steilsten, ein fallender Körper also die grösste Beschleimigung
erfährt, liegen die Projcctionen der Niveaulinien am dichtesten
gedrängt, als electricche Aequipotentiallinien aufgcfasst, zeigen
sie durch ihr enges Aneinanderlicgen die (irösse der electrischen
Kraft an.

Diese kann ausserdem noch durch die Dichtigkeit der Kraft-
linien erkannt werden, die in unmittelbarer Nähe der gedachten
electrischen Massenpunkte unter gleichen Winkeln auslauft iid an-
genommen wurden. I^egt man die Modelle um, so dass die Licht-
strahlen parallel den Niveauflächen auffallen, so projicicren sich
diese als gerade, gleichweit abstehende Linien; die l'nirisslinien
projicicren sich beim ersten Modell als Aste zweier glcich^^citigcn
Hyperbeln.

Veröffentlicht 1901.

Serie XXVIII. 71

Serie XXVIIL

Sechs Modelle zur Theorie der cubischen

Raumcurve
und ihrer Anwendung in der pliysiologisclien Optilc.

Auf Veranlassung- von Geheimrat Professor Dr. Klein und
unter Mitwirkung von Professor Dr. Fr. Schilling in Göttingen.

angefertigt von

I>r. W. Lndwlg in Breslau.

Nr. 1. Cubisohe Ellipse auf elllptlsohem Cyllnder. (Grösse 12x14x40 cm.)

Mark 26.—.

„ 2.^^ Cubisohe Hyperbel auf hyperbollsohem Cyllnder. (Grösse 19x28x40 cm.)

Mark 40.—.

„ 3. Cubisohe parabollsohe Hyperbel auf parabollsohem Cyllnder. (Grösse

16x16x40 cm.) Mark 26.—.

„ 4. Cubisohe Parabel auf parabolischem Cyllnder. (Grösse 16x16x40 cm.)

Mark 25.—.

„ 6* TangentenflSche der oublschen Ellipse. (Grösse 36x40x40 cm.) Mark 26.— .

„ 6.* Horopter. (Grösse 20x23x47 cm.) Mark 26.-.

Preis der ganzen Serie 160 Mark.

Die cubische Raumcurve verdient eine ganz besondere Berück-
sichtigung bei der Auswahl der Beispiele, die dem Anfänger die
allgemeine Theorie der Raumcurven näher bringen sollen; denn
sie zeigt die Eigenschaften der doppelt gekrümmten Curven in über-
aus einfacher Weise und besitzt dabei so leicht zu überblickende
F'ormen, dass jeder, der sie einmal gesehen hat, sie ohne Mühe sich
wieder deutlich vorstellen kann. Ausserdem hat sie aber auch ein
weitergehendes Interesse wegen ihrer schönen projectiven Eigen-
schaften und wegen ihres Auftretens in der physiologischen Optik.

Es werden daher zweifellos diese neuen für den Unterricht
besonders geeigneten Modelle der cubischen Raumcurven mit

72 Serie XXVIII.

Freuden begrüsst werden. Diese Modelle verdanken ihre Entstehung^
der Anregung des Geheimrats S(tcin in seinem im W.-S. 1900/01
an der Universität Göttingen abgehaltenen Seminar.

Ganz neu ist vor allem die von Professor ScfiÜfincf ver-
anlasste Art der Ausführung der ersten vier Modelle. Während
bisher Raumcurven nur aus Draht gebogen oder auf den Ober-
flächen von Körpern aus Holz, Gips oder anderer undurchsichtiger (
Masse aufgezeichnet wurden, sind hier die Cylinder, welche die
Curven tragen, aus durchsichtigem Celluloid angefertigt und gestatten
es daher, in jeder Stellung der Modelle den ganzen Verlauf der
Curve auf dem Cylinder mit einem Blick zu erkennen. Die INfodelle
lassen sich infolgedessen gut projicieren und können dann auch
zur Erläuterung" mancher Eigenschaften der ebenen Curven dienen,
wie z. B. zur Veranschaulichung des Überganges vom eigentlichen
Doppelpunkt zum Rückkehrpunkt und zum isolierten Doppelpunkt.
Überhaupt verspricht diese neue Darstellungsart auch für andere
Curven und Flächen sich als recht brauchbar zu erweisen.

Nr. 1 — 4 veranschaulichen die 4 Typen die man bei der
cubischen Raumcurve je nach ihrem Verhalten zur unendlich fernen
Ebene unterscheidet, nämlich:

i) Die cubische Ellipse mit einem reellen unendlich fernen
Punkt und einer reellen Asymptote ; mit dieser zusammen liegt sie
auf einem elliptischen Cylinder, wie Modell i zeigt.

2) Die cubische Hyperbel mit drei getrennten reellen
unendlich fernen Punkten und drei reellen Asymptoten; sie liegt
mit jeder der letzteren zusammen auf einem hyperbolischen Cylinder,
in dessen Asymptotenebenen sich jedesmal ihre beiden anderen
Asymptoten befinden. Die Curve ist in Modell 2 auf dem einen
dieser drei Cylinder dargestellt.

3) Die cubische parabolische Hyperbel, welche die
unendlich ferne Ebene in einem reellen Punkt berührt und in einem
zweiten schneidet, der die einzige Asymptote bedingt. Die Curve
liegt daher einmal mit letzterer zusammen auf einem parabolischen
Cylinder und ist solcherweise im Modell 3 veranschaulicht, sodann
auf einem hyperbolischen Cylinder, den man auch leicht am Modell
erkennt.

4) Die cubische Parabel, welche mit der unendlich
fernen Ebene drei einander unendlich nahe Punkte gemeinsam, sie

Serie XXVni. 73

also zur Schmieg'ung'sebene hat. Durch die Curve g"eht nur ein
parabolischer Cylinder, den das Modell 4 mitsamt der Curve gibt.

Nr. 5 zeigt die abwickelbare Fläche der Tangenten
der im ersten Modell dargestellten cubischen Ellipse, begrenzt
durch ihre Schnittcurven mit vier passend gewählten Ebenen. Die
Rückkehrcurve dieser Fläche ist eben unsere cubische Ellipse, und
der weiss-rote Faden des Modells deutet ihre Asymptote an.

Nr. 6 endlich dient zur Veranschaulichung der Bedeutung
der cubischen Raumcurve in der physiologischen Optik. Blickt
man mit beiden Augen nach einem Punkte im Räume hin, so
vereinigen sich die auf beiden Netzhäuten entworfenen Bilder dieses
Punktes zu einer einzigen Empfindung ; man sieht den Punkt einfach.
Von den übrigen Punkten des Raumes werden bei dieser bestimmten
Augenstellung nur gewisse Punkte einfach gesehen, die anderen
aber doppelt, eine Thatsache, deren wir uns allerdings für gewöhnlich
nicht bewusst werden. Den Ort der bei einer bestimmten Augen-
stellung einfach gesehenen Punkte des Raumes nun nennt man
den zu dieser Augenstellung gehörigen Horopter; derselbe ist
eine cubische Raumcurve und zwar eine symmetrische cubische
Ellipse, die auf einem Kreiscylinder liegt.

Diese geschilderten Verhältnisse werden durch unser Modell
vollständig veranschaulicht, das die verkleinerte Darstellung eines
wirklichen Falles mit allen Einzelheiten in leicht zu übersehender
Ausführung wiedergibt ; wir erkennen die beiden Augen, den fixierten
Raumpunkt, die Blicklinien, die Median- und Frontalebenen des
Kopfes u. s. w., vor allem natürlich die Horoptercurve selbst mit
ihrer Asymptote und Symmetrieaxe.

Die beigegebene Abhandlung entwickelt im ersten Teil die
Hauptsätze der Theorie der cubischen Raumcurve, um auf Grund
derselben im zweiten Teil ausführlich auf die mathematische Theorie
der Horoptercurve einzugehen.

Veröffentlicht 1902.

74 Serie XXIX.

Serie XXIX.

Drei Modelle zur Kreiseltheorie.

Unter Mitwirkung- von Professor Dr. ¥ r. Schilling in Göttinnen

herausgegeben von

Dr. Hermann Orassmann,

Privatdocenten an der Universität Halle.

Nr. 1. Die epicycloidlsohe Drehung eines iiraftfreien starren Körpers. (Grösse

20x20x21 cm.) Mark 100.—.

M 2.*^ Die pericycloidisctie Dretiung eines Icraftfrelen starren Korpers. (Grösse

20x31x34 cm.) Mark 100.—.

„ 3. Die Uebergangsform zwischen epicycloidisoher und pericyoloidlsoher Drehung
eines iiraftfreien starren Körpers. (Grösse 20x31x34 cm.) Mark 75.—.

Preis der ganzen Serie 265 Marli*

Eine jede Bewegung- eines starren Körpers um einen festen
Punkt lässt sich, wie S'oinsot gezeigt hat, auffassen als ein Fort-
rollen einer mit dem Körper fest verbundenen Kegelfläche
auf einer zweiten Keg-elfläche, die im Räume festliegt. Die
erste Kegelfläche heisst der Polhodiekegel, die zweite der
Ilerpolhodiekegel. Beide Flächen haben ihren Scheitel
im Drehpunkte des Körpers, und ihre Berührungslinie bildet für
jeden Augenblick die instantane Drehaxe des Körpers. Ist
es gelungen, bei einem gegebenen Rotationsproblem die beiden
Kegel zu constuieren, und kennt man noch für irgend einen Augen-
blick die Lage des ersten Kegels gegen den zweiten, so kann man
die Bewegung des Körpers ihrem räumlichen Gange nach
vollkommen getreu nachahmen, indem man von jener Lage
der beiden Kegel ausgehend den Polhodiekegel auf dem Herpol-
hodiekegel abrollen lässt.

Um sich indes auch ein Bild von dem zeitlichen Verlaufe
der Bewegung machen zu können, trägt man noch vom Drehpunkte

Serie XXIX. 75

aus auf jeder Erzeug-enden der beiden Kegel eine Strecke ab,
welche durch ihre Länge die Winkelgeschwindigkeit veranschaulicht,
die der Körper bei der Drehung um diese Erzeugende besitzt,
und zugleich durch ihren Sinn den Drehungssinn der Bewegung
ausdrückt. Auf diese Weise erhält man auf jeder Erzeugenden der
beiden Kegel einen Punkt, den sogenannten Drehpol dieser
Erzeugenden, und als geometrischen Ort aller Drehpole auf
dem Polhodiekegel die ,,Polhodiecurve" oder ,,Polhodie'*, als
geometrischen Ort der Drchpole auf dem Hcrpolhodiekegel die
,,Herpolhodiecurve" oder ,,IIerpolhodie'*. Beide Curven —
man nennt sie auch die beiden Polwege — wickeln sich dann
ebenfalls bei der Bewegung des starren Körpers auf einander ab.
Regelt man dabei zugleich diese Abwickelung in der Weise, dass
ihre Winkelgeschwindigkeit in jedem Augenblick der Länge des
Leitstrahls der beiden Polwege an der Berührungsstelle entspricht,
so wird die Rotationsbewegung des Körpers auch ihrem zeitlichen
Verlaufe nach dargestellt.

Bei dem kraft freien starren Körper bevorzugt man indes
gewöhnlich ein anderes, ebenfalls von iPoinsot herrührendes Ver-
fahren. In diesem Falle kann nämlich die Bewegung auch dadurch
erhalten werden, dass man ein mit dem Körper fest ver-
bundenes Ellipsoid — das Ellipsoid der lebendigen Kraft des
Körpers — unter Festhaltung seines Mittelpunktes auf einer im
Räume festen Ebene rollen lässt. Dabei ist dann zugleich die
Curve der Berührungspunkte auf dem Ellipsoid die Polhodiecurve
und die Curve der Berührungspunkte auf der festön Ebene die
Herpolhodiecurve ; diese Ebene kann also auch als die Herpol-
hodieebene bezeichnet werden.

Es ist aber von Interesse, auch bei dem kraftfreien starren
Körper auf das Abrollen des Polhodiekegels auf dem Hcrpol-
hodiekegel zurückzugreifen, einmal, weil bei dieser Darstellung
gewisse Unterschiede in den vorkommenden Bewegungsformen
schärfer hervortreten, und zweitens, weil so die Vergleichung
zwischen der kraftfreien Bewegung und der Bewegung eines von
Kräften ergriffenen Körpers erleichtert wird. Dazu kommt noch,
dass der Polhodiekegel bei der Bewegung eines kraftfreien starren
Körpers eine besonders einfache Gestalt hat, nämlich von der
zweiten Ordnung ist und also leicht modelliert werden kann. Der
Hcrpolhodiekegel freilich ist viel verwickelter, aber auf seine

76 Serie XXIX.

Modellierung' kann man verzichten, wenn man denPolhodie-
kegel längs der Polhodiecurve abschneidet und dann den
Kegel mit seiner Randcurve unter Ausschluss des Gleitens
auf der Herpolhodieebene abrollen lässt. Dieses Verfahren
ist bei den drei Modellen zu Grunde gelegt.

Dabei ergeben sich drei verschiedene Bewegungsformen.

Modell 1. Wenn nämlich der Polhodiekegel die Axe des
kleinsten Trägheitsmomentes umschliesst, erfolgt sein Abrollen auf
dem Herpolhodiekegel epicycloidisch, das heisst, die beiden
Kegel kehren sich längs ihrer Berührunglinie dauernd ihre
convexe Seite zu.

Modell 2. Wenn der Polhodiekegel die Axe des grössten
Trägheitsmomentes umschliesst, so ist sein Abrollen pericy-
c 1 o i d i s c h , das heisst, er umschliesst auch den Herpolhodiekegel längs
seiner Berührungslinie mit ihm.

Modell 3. Der dritte Fall ist der Übergangs fall, in
welchem der Polhodiekegel in ein (reelles) Ebenenpaar ausgeartet ist.

Das beschriebene Verfahren bietet noch den Vorteil, dass
sich mittelst der Modelle die Herpolhodiecurve leicht auf einem
Papierblatt verzeichnen lässt, so dass die Modelle also nicht nur
gestatten, die Bewegung des kraftfreien starren Körpers um einen
festen Punkt nachzuahmen, sondern zugleich als Herpolhodie-
zirkel dienen können. Befestigt man nämlich ein Papierblatt mit
einem Stück aufgelegten Blaupapiers auf der Fussplatte der Modelle
und lässt den Polhodiekegel ohne Anwendung von Druck unter
gelegentlicher sanfter Nachhülfe durch die Hand auf seiner Unter-
lage abrollen, so ruft der Kegel durch sein blosses Gewicht die
Herpolhodiecurve mit hinreichender Deutlichkeit auf dem Papier-
blatt hervor.

Näheres bietet eine ausführliche Abhandlung, die den
Modellen beiliegt.

Veröffentlicht 1902.

Zweiter Teil.

Anordnung der Modelle

nach

ihrer sachlichen Zusammengehörigkeit.

I. Flfichen 2, OrdniiDf;: s. Ellipsoidef — b. Hyperboloide.

Zweiter Teil.

ErklMrnnB •■«' nuebralsend ccbmncliten Abkü

b«D IB), (D). (K). (S), (W), (Sg) li

1 MUnohen. Prof. KlalD, j.
nlcbti «Ddaret «Dgegeben itt, tat 6lpa ADgerärUgt,

I. Flächen zweiter Ordnung.

ibgegebnn wird, go

a) EDlpsoide.

1. (XXIU, 1 a.) Drsiudiea EllIpMld mit
den drei BIlipseD der drei Hkaptachnitte
Dod einer Anzahl ebener Scbnitle, deren
Ebenen auf der gröseten Axe neukreobt
stehen. (IOx8xC cm.) . . . Mk. 1.50.

2. (III, 1.) DisMlbs mit Angabe der
Haaptgcbnitte ; Axenverhältn. V it : k' 2 : \' 1 ,
grosse Halbaie 5 om. (B}. (10x6 om.)

Mk. 1.4a

3.(111,3.) Dauelba; grosse Halbaxe

9 om. (B). (18x11 cm.) . . . Mk. 1.9ü.

1. (X, 13.) Dasselbe; AieoTerbftltniBB

3:2:1, grosse Halbwe 17 cra. (B). (17x6 cm.)

Mk. 1.20.

5. (X,3.)

DuselbB, iftDgs

eines

Kreis-

Schnittes in

2 Teile zerlegbar

, (B).

(13x7 cm.)

4.-.

6». (Cart-S., 1.) Drelaxlges Elllpsold a
22 kreisförmigen Cattunscbeiben z

gefOgt. Dieses mittelst Dmck Terftnderliche
Modell stellt bei jeder Lage der Scheiben
ein EUipsoid dar. CoDstmiert nach Angabe
von Prof. JIt. A. Brdl.

(Sleu UemarkuuBen galten Vit alla Cutop-

dalla:

in.)

n Uih.

7^ (Cart.-S., 2.) Dasselbe, anderer Gon-
struction, gebildet aus 30 Kreisen.

Modelle von Elllpsolden Mit KrünHungs-
llnlen nnd geodätlsoheii Linien sind in deo
Äbscbnilten VII, b n. d nnter Nr. Iü8
Q. 193-199 anfgefObrt.

b) Hyperboloide.

■IfiO

8. (yxni.2.) Elnachaliges
mit Geraden der beiden Scharen von Er-
zeugenden, Die Innenwandang des Modells
entblLlt den Asymptotenkegel mit den beiden
Hauptscbiiiften. (Hohe 12 cm.) Mk. 2,20,

9. (XXTn,6.) Fadenmodel) eines ver-
änderlichen ein sc hall gen Umdreh- Hyperboloids
mitiVi'ei Scharen von Eriengeuden. Dadon^,

1. Flächen 2. Ordnung: b. Hyperboloide.

das9 die Schnittpockte beider SchBren von
Erzeag-enden mit dem einen BegreDznngs-
kreia festgehalten werden, w&brend in dem
anderen die Schnittpnnkte der einen Hchar
gegen die der zweiten Schar gedreht werden,
ILndert das Hyperboloid seine Gestalt zwischen
C; linder nnd Kegel aia Orenzlagen. Uk. 2.80.
10. (IU,ö.) ElnBohaligflt Hyperboloid mit
Angabe der Hanplacbnitte. Die Höblang des
Oipsmodells bat die Gestalt des zugehörigen
Aaymptotenkegels (Nr. 35). Grosse Halbaxe
der Kehlellipse 4 cm. (B). (23x14 cm.)
Mk. 8.S0.

11. (nr,6.) DuaelbB mit den beiden
Scharen der £rEeDgendeD(B)(23xl4cm.)

Uk. 13.60.

12. (XVI, 4.) Dasselbe, confokal zu dem
durch Nr. 160 dargestellten Ellipsoid ; geht
durch eine der auf dem Modelle dieses
Ellipsoids tnr AnsohaiiDng gebrachten
KrOmmnugslinien hindnrch. Von jeder der
beiden Scharen der geradlinigen
Brieagenden sind 3ä Individnen cur
Anschannng gebracht. Von stnd. roath.
Baassner in QOtUngen (S). (Hahe 21 cm.)

Mk. 13-.

13». (Cart.-S.,3.} ElnaohallBei Hyperboloid
ans kreisförmigen Cartonscheiben zniam men-
ge fügt, Dieeea bei Zng nnd Dmck ver-
lluderlicbe Modell stellt für jede Lage der
Scheiben ein Hyperboloid dar. Vergl.
Nr. 6 (B).

11. (IV, 1,) ElntohallgBi Hyperboloid, nn-
vertnderliches Fadenmodell. Es zeigt beide
Systeme von Braengeuden nebst dem Asym-

ptotenkegel; jedes Syatem wird durch 64
Fäden repräsentiert. Axenrerhältnis der
Koblellipae 21 : 13. (B) (14x24 cm.)Mk. 30.-.

15. (IV, -2.) Vei'ändeiliohes Ftdenmedell
nr Oaretfllliiag des elnsohallgen Hyperboloids

ana seinen Erzengenden.

Stellt man die Leitkreiae parallel nnd
dreht den einen, so dnrclilinft das Modell
eine Reihe von Hypeiboloid-Formen vom

I. Fl&cheQ 2. Ordnung: b. H;fpB''^loi<le. — c. Parftboloii

Cjlinder bU r.uja Kegel alt OreosfalL Bei
horizontaler Lage der Leitkreise sind es
UmdrekDDgshyperboloide, bei geneigter drei-
aiige.

Weon man die Ebenen der Leitkreise
gegeneinander neigt, ea entetebt eine
windaohiefe Fl&che 4. Ordunng.

Diejenige Linienfl&ohe, welche die ta dem
Modell angegebeneD Ereietangenten sn Leit-
linien hat, ist ein Paraboloid, das mit
der durch die Leitkreise dargeBtellten Flftche
zwei cocaecutive Enengende gemeinsam hat
(vergl, Salmon -Fiedler, Kaamgeometrie, 2.
Teil, Art. 206). Beschreibnng im 1, Teil,
IV. Serie Nr. 2. (B). (22xr)r, cm.) Mk, 70.—.

le. (IV, 3.) Wie vorstehend, nnr sind die
Leitkreiae nngleich, die beiden Scharen
der Ensengenden dnrch Fftden dargestellt,
die beiden Grenzlagen Kegel. Beschreibg.
Teil I. Serie IV. Nr. 3 (B). (22,5x00 cm.)
Mk. 75.-.

IT. (XXni, 3.) Zwelsohallgas Hyperbolelil

mit den Hanptschnitten nnd mit einer Schar
paralleler ebener Schnitte, deren Ebenen
anf der reellen Aie senkrecht stellen. Die
beiden Schalen der Fläche sind dnrch Stäb-
chen in der richtigen Entfernung mit ein-
ander verbunden. Ilühc 12 cm. Mk. 2.20.

18. (HI, 8.) Zwelschallges Hyperboloid mit
den Hanptscbnitten. Den zugehörigen Asym-
ptotenkegel zeigt Nr. 3Ö. Reelle Hauptaze
0,93 om. (B). (13x23 cm.) . Mk. 13.60.

19. (XVI, 5 ) ZwelBohaliges Hyperboloid
mit den Haoptschnitten. Confooal zu dem
durch Nr. 160 (XVI, 1.) dai^eatellten EUip-
soid und zu dem dnrob Nr. 12 (XVI, 4.)
dargestellten eiuschaligen Hyperboloid ; es
geht durch eine der auf dem EUipeoidmodelle

zur Anschauung gebrachten Krämmungs-
linien hindurch. Von stud. math. Hanuner
in Göttingen (S) Mk. 16—.

20. (XVI, 8.) Voreiiiitiuai eina einsoha-
llgen Hyperboloid! mit einen eonfooalen zwai>
aohallgen Hyperboloid; Durchdringung der
Modelle Nr. 12 {XVI, 4.) n. Nr. 19 (XVI, 5.).
Von Hanssner in Göttingen (8). Mk. 18.—.

21». (Cart-S. 4 ) Zwelaohidlgee Hyperboloid
aus Carton Scheiben, beweglich ; jede Hälfte
ans 24 Kreisen gebildet. (Lieferung beider
Schalen nur auf besonderen Wunsch.) Vergl,
Nr. 6 (B).

KB. Modelle von Hyperboloiden
mit £rn mmungslinien sind in der Ab-
teilung VU.b.uDterNr. IGGn, IC8 aufgefühlt.

c) Parabololde.

22. (XXI1I,4.) Elllptliohes Parabolold

mit den Hauptschnitten und einer Schar
von ebenen Schnitten, deren Kbeneo zur
Paraboloidaxe aenkreoht stehen. Mk. 1.80.

23. (in, 10} Elliptlaohea ParaboloM mit
den Hanptscbnitten ; Halbaien der Grund-
ellipse 9,.'. nnd G cm. (B). (6x20cm.) Mk, 2.80.

24.(111,2.) Dasselbe mit Schnitten
paialiel zur Berührungsebene im Scheitel (B).
(6x20 cm.) Mk. 3.80.

250. (Cart.'S. 0.) EllipUscbes Panbalold
ans Cartonscheiben, beweglich, 28 Kreise.
fl. Nr. 6 (B).

26. (XXIII, 5.) Hyperbolliohe« Parabolold
mit den Haupt schnitten nnd einer Schar von
ebenen Schnitten deren Ebenen znr Para-
boloidaxe senkrecht stehen Mk. 1.80.

27.28. (Xxni,8an.b.) Rechtwinkliges
byperboliaohes parabolold. Fadenmodell.
Das Modell der FUcbe ist darch die Raum.

I. Plftchen 2. Ordonng: c. Pftr&boloide. — d. Kegel nnd pylinder.

cuTTe vierter Ordoong bep^nit, io der eie
von einem Umdrehcylinder mit gleicher Axe
getroffen wird, and zeigt die beiden Scharen
TOD Erzeugenden. Zwei Ansführnng-eD :
a. 13x12 cm. b. 7'/iXli> cm. je Mk. 2.-.

29. (111,13.) HyperbollBohiB Parabelold
gleichseitig) mit den Hauptschaitten. Dorch-
meseer de» Begrenzangscylindera 14 cm. (B).
(15x13 cm.) Mk. 3.

30. (III, 14.) DaisellM Hit HorizonUl'
■ohniltsn (gleiche eitigen Hyperbeln) (B).
(15X13 cm.) Mk. 6.

31. (III, 15 ) Duialbe mit deo beiden
Scharen von geradlinigen Erzeugenden
(ß). (15x13 cm.) Mk. 5.60.

32». (CBrt.-S., e.) Hyperbolische» Part-
bolold, bewegliches Cartonmodell, gebildet
BDB 26 geradlinig begreüEtea Schnitten,
a. Nr. 6 (B).

38. (IV, 4.) Hyperbeiieohea Paribolold, un-
Terftuderlicbes Fadenmodell. Die Seidenfllden

stellen die geradlinigen Erzeugenden der
beideo Schareo dar. Beschreibung Teil I,
Serie IV Nr 4 (B) (18x30 cm) Mk 44.-.

31. (IV, 5.) Dasaelbe, durch Seidenfäden
in einem wind3chiefen Viereck dargestellt,
dessen Seiten paarweise beweglich sind. Das
Modell durcbl&nft alle Parabuloidformen von
einer Ebene bis znr Doppclebene mit einer
Orenzparabel. Besclu-eibaiig Teil I, Serie IV,
Nr. 5 (B) Mk. 70.-.

NB. Modelle tod Paraboloiden
mit Krammnogslin
teilaDg VII, b unter Nr. 1

e n sind in der Ab-
9d. ITOaafgefilhrt.

d) Kegel ond Cyllnder.

35. (III, 17.) EHIptltoher Kegel; Balbaxen
der OmndeUipae 10,4 nnd 5,4 cm.. Hübe
11,5 cro. Dieser Kegel ist Aeyroptoteuk^gel
sowohl zum einscbaligen Hyperboloid N'r. 10,
wie zum zweiBchaligen Nr. 18 (B). (23x13
cm.) Mk. 3.80,

36. (VI, 5.) Krelskegel mit ebenen Schnit-
ten in einer Ellipse, Hyperbel und Parabel.
Nach diesen Schnitten zerlegbar, (tt). (32x19
cm.) Mk. 22.—.

3;'>. (Cart.-ä., 7.) Kegel, bewegliches Car-
tonmodell, gebildet aus 26 Kreisen. Vergl.
Nr. 6 (B).

NB. Bierher gehört nnch der gerade
Kreiscylinder mit elliptischem Schnitt, Nr.
242 (XXVI, 14.).

n. Älgebraisclie Flftohen 3. Ordpnng: %. Hichtgeradlinige Fl&chet).

Algebraische Flächen dritter Ordnung.

a) Nichtgeradlinige FlBchen
3. Ordnnng.

Diese Serie nach Prof. Dr. C. Rodenberg
nmfosBt alle wegentlichen Typen in dem
Hiau, daas ans den modellierteo dnrcb leicht
ZQ öberaebeDde GestaltsäDdeniDgen alle
Formen von FUchen 3. Ord. ahleitbw aind.
Insbesondere bietet aie f^rjede Art tod aingn-
Iftren Punkten, die anf diesen FUohen vor-
kommen können, ein charakteristiaches Bei-
spiel. Vergl. Kodenbei^'s Aafssli ; „Znr
Classification der Fl&ohen 3. Ord.", Math.
Aniialeri Bd. XIV. pag. 46 ff. Der Serie ist
eine von dem Urheber verfasste Abbandlnng

880. (VU, 1.) Die DlagoMlfl8ohe mit 27
reellen Geraden (Bezeicbnang von Clebscb,
e. Salmon-Fiedler, Analyt. Geom. d. R. II.
Art. 289) kann als Repräsentant der allge-
meinen /"g mit 27 reellen Geraden angesehen
vrerden. Zwar sind von den geradlinigen
Dreiecken, welche die Allgemeine Fläche
enthalt, anf dieser Fläclte 10 in Punkte xa-
■amraengeBchmmpft. Hiermit zugleich sind
die diesen Dreieoken ein beschriebenen 10
Ovale der „pai'abo lisch en" Cnrve (deijenigen
Carve aaf der FIttcbe, welche die Partien
positiver Krümmung von denen negativer
trennt) anf Funkte (Ovalpnnkte] rednciert.
— Aber mit Hilfe eines Deformationspro-
cesses, dem eine Ccnstanten-Aendening der
Flftchengleichnng parallel lauft, läast Eich

ans der Diagonalflftcbe die (nicht so Qber-
sichtlich darstellbare) allgemeine FUche
leicht ableiten.

Solche Deformationsprocessesind es über-
haupt, die nicht Dar von den hier vor-
liegenden Eauplljpen in allen möglichen
Formen von Fl&chen dritter Ordnnng hin-
führen, sondern anch den Zusammenhang
zwischen den einzelnen Typen der Serie
herstellen.

Die 16 roten Geraden besitzen je zwei
reelle Asymptotenponkte, d. h. nnter dfen
Kegelschnitten, nach welchen alle darch
eine solche hindurchgehenden Ebenen die
Fläche schneiden, befinden sich 2 reelle,
diese Gerade in den vorhb genannten
Punkten berührende. Die 12 weissen Geraden
bilden eine Doppelsechs, auf ihnen sind die
Aaymptotenpunkle imaginftr. Mit Ausnahme
der Ovalpunkte nnd der erwähnten Asym-
ptolonpnnkte ist die ganze Fl&che negativ
gekrümmt, (15x24 cm.)

39«. (Vn,2.) Fliehe mit 4 raellBn eo-
nlsoben Kiotsapuaktea C^*). Man erhalt
dieselbe aus der Diagonalfiftche durch Zn-
eammenziehen der 4 Hälse. Von den 27
Geraden sind 4 . 6 in die 6 Kanten det aaa
den Knoten gebildeten Tetraeders lusammen-

Bescitigt man einen Teil der Knoten durch
Abschnüren, während man die anderen wieder
in Habe verwandelt, so erhftlt man einen
der Flüuhentypenmitweniger als 27 Geraden,
Beim AbscbnQren z. B. eines Knotens
weiden 4.3^12 Gerade imagin&r, man
hat also den Typus einer Flftcbe mit nur
15 reellen Geraden u. s. f.

In die 6 roten Verbindungsstrablen je
zweier Knoten (Kno tenstrablen) sind

♦) Die Bnchstaben C, B, U bedenten
coniGche, biplanare, nniplanare Knoten ; der
angehängte Zeiger gibt die Anzahl der Ein-
heiten an, um welche die Klasse durch die
betreffende Siogolaritftt erniedrigt wird.

IL Algebraische Flächen 3. Ordnung: a. Nichtgeradlinige Flächen.

je 4 Gerade hinein gefallen; die 3 weissen
Geraden dagegen sind einfach (nnär). Der
durch die 4 Eckpunkte bestimmte tetraeder-
förmige Flächenteil liegt ganz im Endlichen
und ist positiv gekrümnit. (13x15 cm.)

40«. 410. 420, 430, (VII, 3, 4, 5, 6.)
SSmtlich oollinear verwandt der Fläche Nr. 39.
Je nachdem man zur Gegenebene (Ebene,
die bei der CoUineation zur unendlich fernen
Ebene gemacht wird) eine Ebene wählt,
welche den tetraederförmigen Teil nicht
trifiPt und die Fläche nach einer Curve dritter
Ordnung mit Oval schneidet, oder von diesem
Teil eine Kuppe abtrennt, oder einen Knoten
des tetraederförmigen Teils von den 3 übrigen,
oder endlich 2 Knoten desselben von den 2
übrigen abschneidet, erhält man der Reihe
nach aus Nr. 39 die Flächen Nr. 40, 41, 42, 43.

In den drei ersten Fällen wurde ausser-
dem die Gegenebene horizontal gewählt, im
letzten durch eine der unären Geraden
(s. Nr. 39) gelegt, so dass beim Modell Nr. 43
eine dieser 3 Geraden im Unendlichen liegt.
Der tetraederförmige Teil erstreckt sich bei
allen, mit Ausnahme von Nr. 40, ins Un-
endliche und ist immer positiv gekrümmt.
(13x15 cm.)

440. (YII,7.) Fläche mit 3 conlschen
Knotenpunkten C^. Sie ist aus Nr. 39 direct
nicht ableitbar, aber entsteht aus der Dia-
gonalfläche durch Zusammenziehen der 3
unteren ellipsenförmigen Oeffnungen zu
Knoten.

Die 3 weissen Geraden sind daher unär
und besitzen reelle Asymptotenpunkte, in
die blauen sind 2, in die roten (Knoten-
strahlen) 4 Gerade hinein gefallen. Die para-
bolische Curve besteht, abgesehen von den
3 als Teile derselben doppelt zählenden
Knotenstrahlen, aus einer Curve sechster
Ordnung mit 3 Doppelpunkten in den Knoten,
deren Tangenten daselbst die blau gezeich-
neten Geraden sind. (11x15 cm.)

45 0. (VII, 8.) Dieselbe Fläche, aber von
der anderen Flächenseite betrachtet (der
andere Kaumteil ausgefüllt).

Sie veranschaulicht die Bildung des (7^
von Nr. 53 aus 3 C^. (11x15 cm.)

460. (yil,9.) Fläche mit 3 reellen bipla-

naren Knoten ^3, von denen jeder die Klasse
um 3 erniedrigt, und für welche sämtlich die
Tangentialebenenpaare reell sind.

Die 3 verschiedenen Hauptebenen gehen
durch je 2 der 3 Knotenstrahlen, in welche
je 4 Gerade hineingefallen sind, und osculieren
die Fläche längs derselben. Die Fläche ist
durchaus positiv gekrümmt mit Ausnahme
der Knotenstrahlen, welche, jeder als Teil
der parabolischen Curve vierfach zählend,
die parabolische Curve repräsentieren.
(11x15 cm.)

470. (VII, 10.) Fläche mit einem biplanaren
Knoten ^3, dessen 2 Tangentialebenen (auch
Hauptebenen genannt) reell sind und der
die Klasse um 3 erniedrigt.

Ausser den 6 durch den ^3 gehenden,
dreifach zählenden Geraden (rot) existieren
noch 9 unäre (s. oben) Gerade (weiss),
wovon 5 reelle, 4 imaginäre Asymptoten-
punkte besitzen. Die parabolische Curve
besteht aus einem paaren Zug mit 4 Schleifen
und 2 Ovalen. B^ ist ein achtfacher Punkt
derselben, es gehen aber nur 4 reelle Aeste
durch ihn hindurch, welche zu je zweien
die beiden Hauptebenen, nicht aber die
Knotenstrahlen berühren, die in den-
selben liegen. Die Fläche veranschaulicht
die Entstehung des U^ aus dem B^ durch
Vereinigung seiner Ebenen. (10x15 cm.)

480. (Vn, 11.) Fläche mit einem biplanaren

Knoten ^3, dessen Hauptebenen conjngiert
imaginär sind.

Die parabolische Curve, welche
im Allgemeinen bei Flächen mit einem
solchen Knoten eine aus 3 reellen Ovalen
bestehende Curve 12. Ordnung mit einem
isolierten achtfachen Punkt im Knoten ist,
degeneriert hier in eine ebene Curve dritter
Ordnung und eine Raumcurve neunter Ord-
nung. Die Fläche enthält nur noch 3 reelle
unäre Gerade mit reellen Asymptotenpunkten.
(12x15 cm.)

U. Algebraische Flächen 3. Ordnung: a. Nichtgetadlinige Fl&chen.

49\ (VII, 12.) FISohe nit einem biplanaren,

die Klasse um 4 erniedrigenden Knoten B^,
mit reellen Hauptebenenpaar nnd ausserdem
Boch 2 reellen conischen Knoten 6*2.

Diejenigen beiden grünenGeraden, welche
B^ mit je einem der C^ verbinden, zfthlen
achtfach; die dritte grüne Gerade, in der
sich die Haaptebenen von B^ schneiden,
sechsfach; der rote Knotenstrahl vierfach;
die weisse Gerade ist unär nnd enthält 2
reelle Asymptotenpunkte. Der zwischen den
3 Knoten gelegene Flächenteil ist (mit Aus-
nahme von Punkten parabolischerKrümmung)
positiv gekrümmt. (13x:15 cm.)

500. (vxx^ 13 ) pigohe mit einem biplanaren,

die Klasse um 4 erniedrigenden Knoten B^
mit Imaginären Hauptebenenpaar und ausser-
dem noch 2 imaginären conischen Knoten C^.

Ausser der durch B^ gehenden vierfach
zu rechnenden Geraden (grün), nach welcher
sich die beiden imaginären Hauptebenen
daselbst schneiden, liegt noch eine die 2
imaginären Knoten verbindende vierfach
zählende Gerade (rot) und, unendlich fern,
die beiden eben genannten schneidend, eine
unäre Gerade auf ihr. Die Fläche ist negativ
gekrümmt. (13x16 cm.)

5P. (VU, 14.) FISche mit einem conischen
Knoten c^ und einem biplanaren ^5, welcher
ein reelles Hauptebenenpaar besitzt und die
Klasse um 5 erniedrigt.

Die 2 Hauptebenen gehen durch die zehn-
fach zählende grüne Gerade, die eine berührt
die Fläche längs derselben und schneidet sie
nach der fünffach zählenden, durch B^
gehenden weissen, die andere berührt längs
der zehnfach zu rechnenden roten Geraden.
Ausserdem liegt auf der Fläche noch die
zweifache, durch C^ gehende weisse Gerade.
Abgesehen von, als Teile der parabolischen
Curve, mehrfach zählenden Geraden (rote
fünffach, grüne vierfach), ist die parabolische
Curve eine Curve dritter Ordnung, welche
die erstgenannte Hauptebene in B^ zur
Schmiegungsebene besitzt und in C^ die

durdi denselben gehende weisse Gerade
berührt (13x15 cm.)

520. (vxx^ 15.) pi^ohe mit einem reellen
conischen Knoten C2 und elnom biplanaren
B^ mit reellem Hauptebenenpaar, der die
Klassenzahl um 6 reduciert.

Beide Hauptebenen gehen durch die
fünfzehnfach zählende grüne Gerade; die
eine osculiert die Fläche längs derselben,
^e andere berührt längs der zwölffach zu
rechnenden roten. Der zwischen den bei-
den Knotenpunkten liegende geschlossene
Flächenteil ist positiv gekrümmt, der andere
negativ. (12x15 cm.)

530. (YII, 16.) Fläche mit einem nnlpla-
naren, die Klassenzahl um 6 reducierenden
Knoten Uß^ dessen Hauptebene die Fläche
in 3 achtfach zählenden roten Geraden
schneidet.

Sie entsteht aus Nr. 45 durch Zusammen-
ziehen der 3 Knotenpunkte in den U^; die
3 unären Geraden von Nr. 45 bleiben dabei
erhalten und besitzen ebenfalls reelle Asym-
ptotenpunkte. Im Allgemeinen besitzt eine
solche Fläche eine parabolische Curve
sechster Ordnung, welche die Form
eines die 3 unären Geraden berührenden
Ovals besitzt Weil aber auf dem vorliegenden
Modell diese 3 Geraden sich schneiden, ver-
schwindet dieses Oval und die Fläche ist
negativ gekrümmt. (12x15 cm.)

540, (VU, 17.) Desgleichen, jedoch schnei-
det die Tangentialebene im oniplanaren
Uß die Fläche nur nach einer reellen
roten Geraden. Ausser dieser enthält die
Fläche nur noch eine reelle unäre Gerade
(weiss), welche reelle Asymptotenpunkte
besitzt. Die parabolische Curve, im allge-
meinen Fall eine aus 2 Ovalen bestehende,
jeden Knotenstrahl in l/^ berührende Curve
sechster Ordnung, ist hier in 2 ebene Curven
dritter Ordnung ausgeartet, von denen jede in
Uß einen Hückkehrpunkt besitzt. (12x15 cm.)

550. (VU, 18.) Fläche mit einem unlpla-
naren, die Klasse um 7 reducierenden Knoten
Ui^ dessen Tangentialebene die Fläche längs

IL A-Igebraiache Fl&ohen 3. Ordnnog: a, Niohtgeradlinige FIftchen.

der secfazebtirB.ch zählenden gränen Geraden
berührt und oaoh der zehnfacheD roten
schneidet.

Die Tangentialebene l&aga der letzteren
Geraden enth&lt die einzige nnftre Gerade
der Fläche mit 2 reellen ABjraptotenpnnkteD.
Die paraboliache Corve iat, von den dazn
gehfirigen Geraden abgeaeben (grüne sechs-
fach, rote doppelt), eine Cnrve vierter
Ordnnng, welche aas einem einzigen Oval
besteht nnd in U^ eine Spitze mit den
grünen Geraden als Tangente daaelbat be-
sitzt. Dorch diese Fläche 6ndet der Über-
gang von Nr. 63 zu 54 statt. (12x16 cm.)

660. (VU, 19.) Fläche mit einem unlpla-
naraR Knoten f^g, durch welche die Elassen-
tahl nm S vermindert wird.

Die Tangentialebene in U^ oscnliert die
Fläche längs der einzigen siebennndiwan zig-
fach zählenden Geraden. Sieht man von
dieser als Teil der parabolischen Cnrve
zehnfsch zu rechnenden Geraden ab, so ist
die parabolische Cnrve ein Kegelschnitt,
der in f/g die Gerade der FUohe berührt.
(12X15 om.)

570. (Vil, 26.) DrahtmodeU, darstellend
die Abbildung der Fläohen mit I, 2, 3, 4
OflniBChen Knoten r^, welche einem reellen
Pentaeder angeboren, auf den Punktraum.

Im Allgemeinen tftMt sieh die Gleichung
einer jeden Fläche dritter Ordnnng als die
Samme von 5 Gaben von linearen Ans-
drfioken in den Ooordinaten daratelleo, und
zwar nur auf eine Weise. Diese 6 Ebenen
bilden das zn dieser Fläche gehörige
Pentaeder, sie bestimmen IQ Sobnittgerade
(Fentaederkauten), nnd 10 Sohoittpnnkte
(Pentaederecken); aosserdem gibt es noch
10 Ebenen, welche je dnrch eine Pentaeder-
ecke nnd die gegenDberUe{eiide Kante
gehen (Diagonalebenen). Das vorliegende
Drahtmodell stellt nun schematisoh das allen
Flächen mit nur oonisohen Ejioteo (Kr.
38—45) gemeinsame Pentaeder dar. (FQr
die Diagonalfläohe Nr. 38 lässt sich dasselbe
sofort angeben. Die 10 OvsJpnnkte dieser
Fläche sind die lOEckpnnkte des Pentaeders;

die 5 Ebenen desselben sind diejenigen
Ebenen, welche je 3 nicht dnrch einen
Pankt gehende rote Gerade enthalten; die
10 Diagonalebenen sind die Tangential-
ebenen in den Ovalpnnkten.) Die gelben
Drähte sind die Kanten des Pentaeders,
dazn gehört noch die in der Horizontal-
ebene gelegene, unendlich ferne Gerada,
ihre Sobnittpnnkte (wovon 3 im Unendlichen)
die Ecken desselben ; die roten Geraden
Schnitte von Pentaeder- nnd Diagonal-
ebenen ; die grünen von Diagonalebeneu
mit einander. Die Diagonal- nnd Pentaeder-
ebenen teilen den Raum im ganzen in 16
Kammern, wovon 5 von 4 (Tetneder-
kammem), 10 von 6 Ebenen (Pentacder-
kammem) begrenzt werden. In jedem
Pentaeder gibt es im Allgemeinen nur eine
einzige Fläche, welche in einem gegebenen
Pankt einen Doppelpankt besitzt. Je nach-
dem nun dieser Funkt in verschiedenen
Kammern gewählt wird, gibt es verschiedene
Arten von FIftchen dritter Ordnnng, die
dnrch die römischen Zahlen im Modell
gekennzeichnet sind. Ausser der beihegenden
Erklävnng, von Roden herg verfasst, vergleiche
dessen Abbandlong in den Mathem. Anoalen
Bd. 14, pag. 46 S.; bezfiglich des Pentaeders
ferner die Abhandlung von Clebsch im
Crelle'schen Jonmal Bd. 59, pag. 194 S.;
fem er Sahnen -Fiedler, Geom. d. Ranmos,
II, Teil, Art. 269, 282. 2. Aafl. (14x22 om.)

[,24a.) HesH'sohe PISehe » Nr.

Sie ist eine FIftclie vierter Ordnang mit
14 reellen Doppelpunkten, von denen im

II. Algebraische Fl&ohen 3. Ordnung: b. Regelfläohen.

vorliegenden Fall 3 im Unendlichen liegen.
Id den 4 Knotenpunkten der Fläche dritter
Ordnung (Nr. 39), welche zugleich der
Hesse^schen Fläche angehören, kommen noch
diejenigen 10 Knoten hinzu, welche in den
10 Eckpunkten des ihr zugehörigen Penta-
eders liegen ; 6 da?on sind die Schnittpunkte
je einer roten und weissen Geraden (3 davon
liegen im Unendlichen). Auf der Hesse^sohen
Fläche liegen ferner 16 Gerade, längs
welchen je dieselbe Tangentialebene berührt,
10 davon sind die Kanten des der zuge«
hörigen Fläche dritter Ordnung angehörenden
Pentaeders, die 6 andern sind zugleich die
6 Knotenstrahlen der Fläche dritter Ordnung.
(Wird die obige Fläche als Hesse^sohe
Fläche von Nr. 39 angesehen, so sind die
roten Geraden auf ihr die Knotenstrahlen,
die grünen Pentaederkanten, für Nr. 42
verhält es sich umgekehrt). (21x25 cm.)

590. (VU, 24 b.) Der durch die Knoten-
punkte begrenzte endliche Teil der vorher-
gehenden Fläche vergi*ös8ert und regelmässig
angenommen.

Derselbe würde ein Teil der Hesse^schen
Fläche, einer solchen Fläche dritter Ordnung
sein, für welche das Tetraeder der Knoten-
punkte ein reguläres ist und bei der die
Ebene der 3 unären (weissen) Geraden im
Unendlichen liegt. (13x16 cm.)

600. (YII,25.) Hesee'sche Fläche zu

Nr. 44, aus Zweckmässigkeitsgründen in et-
was anderen Dimensionen modelliert.

Sie besitzt 13 reelle Knoten, davon
3 im Unendlichen; ferner 13 Gerade, 10
davon sind die Kanten des Pentaeders (eine
ist unendlich fern), 3 die Knotenstrahlen
der ihr zugehörenden Fläche 3. Ordnung.
(21x25 cm.)

NB. Weitere, dieser Rubrik zuzurech-
nende Modelle finden sich unter Nr. 192
(II, 2), und Nr. 266 (XIV, 4.).

b) KegelflBelieii 3. Ordnung,
insbesondere KegeU

610- 64^ (VII, 20-23). Gipemodelle der
Regelflächen 3. Ordnung nach Prof. Dr.
C. Rodenberg.

610. (VII, 20.) Regelfläohe, deren Doppel-
gerade völlig von reellen Flächenteilen
umgeben ist.

Sie wird (wie Nr. 62 und 63) durch die
Verbindungsgeraden entsprechender Ele-
mente der grünen Geraden und des auf
sie projectivisch bezogenen, auf der Fläche
liegenden, weissen Kegelschnittes (Kreis)
gebildet und ist, wie alle Regelflächen, von
derselben Klasse wie Ordnung, d. h. hier
der dritten. Die grüne Gerade durchsetzt
die Ebene des Kreises hier in seinem
Innern. (13x15 cm.)

620. (VII, 21.) Regelfläche, wie vorher,
nur verläuft die Doppelgerade zum Teil
isoliert.

Sie verlässt die reellen Flächenteile in
2 Zwickpunkten '"), welche auf der Fläche
durch den Durchschnitt der 2 roten Er-
zeugenden mit der Doppelgeraden markiert
werden. Diejenigen durch die grüne Gerade
(hier ausserhalb des Kreises verlaufend)

♦) „Zwickpunkte" (pinchpoints) nennt
man diejenigen Punkte einer Doppelourve,
in welchen die beiden Tangentialebenen
zusammenfallen ; sie trennen im Allgemeinen
die isoliert verlaufenden Teile der Döppel-
curve von denen mit reellen Tangential-
ebenen und sind als uniplanare Punkte zu
betrachten.

n. AlgebraUche Fl&oheo 3. Ordnung : b. RegBlflftcheD.

gehenden 2 Ebenen, welche den Kreis be-
rühren, liefern die 2 roten Erzeugenden.
(13x15 cm.)

630. ^vil, 22.) Cayley'sche Reselfläche
dritler Ordnung,

Die beiden Zwickp unkte der vorigen
Fläche haben sich im 'anendlich fernen Pnnkl
der Doppelgeraden vereinigt. Sie entsteht
dann, wenn die grüne (vergl. Nr. 61) Gerade
den Ereia trifft; diese Gerade wird dann
zDgleich die Doppelgcrade. (13x15 cm.)

64°. (Vn, 23.) Deiglelchan, oolllnear zn
der vorigen Fläche ; der Kegelschnitt liegt
im Unendlichen. (13x15 cm.)

Ganze Serie VII Mk. 300.-.
Gruppe I Mk. 140.-, Gruppe U Mk. 160.-.

65-6S. (XVIU,l-4.) Fadenmodelle der
Regetfläohei 3. Ordg. Von sind. c. Tesch
in Karlsruhe (W).

Als Leitlinien der Flftche sind gewählt
ein Kreis, eine die Kreisebene in einem
Peripherie ponkte rechtwinklig schneidende
Gerade und eine die Kreieebene schneidende
zweite Gerade. Die Erzeugenden derFlftche
sind darch schwächere, die Leitgeraden
durch stärkere Fäden dargestellt, die Schnitt-
punkte durch Perlen hervorgehoben. Der
Leitkreis ist durch Hlden in seiner Ebene
und durch Perlen veranschanlieht.

Die Serie stellt 4 verschiedene F&lle dar.

65. (XVIII, 1.) I. Fall. Die zweite
Leitgerade schneidet die Ebene des Ereiaes
in einem inuerhalb desselben gelegeneu
Punkte. Die ei-ste Lei (gerade ist ihren
ganien Verlaufe nach reelle Doppellinle der
FIftche. Die Kanten und Caspidalpunkle
sind imaginär. (20x20 om.) . Mk. 26.—.

66. (XVIII, 2.) II. Fall. Die zweite
Leitgerade schneidet die Ebene des Kreises
in einem ausserhalb desselben gelegenen
Punkte. Die erste Leitgerade ist lüngs
eiaer endlichen Strecke reelle Doppellinle,
in den beiden sich in das Unendliche er-
streckenden Zweigen isolierte Linie der
Fläche. Es sind zwei reelle Kanten vor-
handen, welche durch die beiden Grenz-
punkte des reellen Teiles der DoppelHnie
geben. Diese Grenzpunkte sind Cnspidal-
pnnkte der Fläche. (20x20cm.) Mk, 25.-.

«I. (XVIII, 3.) UI. Fall. Der Lelikegel-
schnitt. hier eine Ellipse, ist !■ das Un-
endllohe gerQokt nnd darch einen Richtkegel
gegeben, der durch seine Erzeugenden
dargestellt ist Die zweite Leitgerade
schneidet die Ebene des unendlich fernen
KegelBohnitteB in einem ausserhalb desselben
gelegenen Punkt, Ein endlicher Teil der
ersten Leitgeraden ist isolierte Linie, die
beiden sich ins Uneudliche eretreckenden
Zweige reelle Doppellinie der Fläche. Die
Kanten und Cuspidalpnnkte sind wie im
zweiten Fall reell (20..- 20 cm.) Mk. 25.—.

y "^"^

«8. (XVIII, 4.) IV. Fall. Die Cayley'BOhe
FlSohe. Die zweite Leitgerade mit mit der
ersten znsammen. Dieselbe ist in ihrem
ganzen Verlaufe reelle Doppellinie und zu-
gleich Kante der Fläche. Die beiden Cus-
pidalpnnkte fallen in einen Punkt zusammen,
durch welchen Funkt noch die zweite
Kante der Fläche geht.

(20x20 cm-) Mk. 25.-.

Ganze Serie Mk. 90.~.

n. AlgebnUche Fl&ohen 3. Ordnaog^: b. Regalfllchen

69. 70. (XXUI, 9a n. b.) Cyllndrold
(PIDoker'uhei Conold). Fadenmodell von
Prof. Dr. H. Wiener. Vgl. du folgende Modell.
(13X12 n. 7VjX1') cm.) . . je Mk. 2.-.

71. [XXIU, 10.) Cyllndrold, vereint Mit
den reohtwiakilgen Par&boiold (Nr. 28,

XXIII, 8b.) Fadenmoddl von Prof. Dr.
H. WUner. Das rechtwinklige Paraboloid iat
der geometriBche Ort aller Pnokte, die von
zwei gegebenen Oeradeti gleichweit abstehen.
Ea hat Sin noendlieh vielen Geradenpaaren
diese Ijage, Qod diese sind die Erzengenden
eines CjUndroids. Das Modell gibt diese
beiden Flüchen in dieser Lage vereint wieder.
(T'/aXlä cm.) Mk. 5.40.

72—78. (XXV, 1—7.) Fadennadelle der
Kegel dritter Ordnuig nach FrofesBor Dr.
H. Wiener.

Diese Modelle sollen banptsftcblioh anoh

dritter Ordnnng dienen (vergl, hierzu
dea Näberen die Besobreibang dieser Serie
pag. 68), inBofern es diejenigen Gestalten
betrifft, die dorch ibr Verbalten gegen die
unendlich ferne Gerade bedingt sind. Eine
Einteilnng der ebenen Cnrven
dritter OrdnoDg, wie sie der Unter-
scheidung der Cnrven zweiter Ordonng in
Ellipse, Hyperbel nnd Parabel entspricht,
hat znerst Newton nntemommen nnd gezeigt,
dasB sich alle Cnrvenarten ans 5 besonderen
Cnrven, den divergierenden Parabeln dorch
Projection ableiten lassen. Nach ihm griff
Möbius die Anfgabe wieder auf; nm keine
einzelne Gattnng der Curven vor den
anderen gleichberechtigten anszn zeichnen,
setzt er an die Stelle der Cnrven die
projioierenden £egel nnd nnter-

scbeidet von diesen 7 Oattnogen, die sich
auf solche vom Geschlecht Null oder Gins
verteilen.

Vgl. Newton Ennmeratio linearnm
tertii ordinis, 1706; Flacker, System
der analytiBohen Geometrie, 3. Abachnitt,
1835; Cayley, On the claasÜicfttion of
cabio carvea, Gambr. Philos. Transautions
XI, pag. 81; Möbins, Geo. Werke, Bd. H
pag. 90; Salmon- Fiedler, Analytische
Geometrie der hüberen ebenen Cnrven,
(2. Anfi.) 1882, pag. 164 ff.

Kegel vam Gesobleohte Null gibt es nnr
drei projectiv verschiedene Gestalte u,

□ämlicb ;

72. (XXV, 1.) Der Kegel besitzt eine
RSokkehrkante and ist von der dritten
Klasse Mk. 18.—.

78. {XXV, 2.) Der Kegel besitzt eine
Doppelkante als Selbstschnitt nnd ist von
der vierten Klasse .... Mk. 18. — .

74. (XXV, 3.) Der Kegel besitet eine
isolierte Dppelkante und ist ebenfalls von
der vierten Klasse .... Mk. 20, — .

Die Kegel von Geechleohte Elai sind
sbntlich von der seobsten Elasae. Ein
solcher Kegel kann entweder allein ans
einem anpaaren Mantel oder aas einem
solchen and einem hinzntretenden paaren
Mantel bestehen, nnd man wird bei Beräck-
siohtigong dieses UnteracbiedeB zwei
Gattungen von Kegeln vom OeBOhlechle
Eins EQ nnterscbeiden haben, die zusammen
mit den drei Gattangen vom Geschleohte

III. Algebraische FUohen 4. Ordnang: a. Cyclidea.

NoU den „5 Newtoo'schen Parabeln" ent-
sprecbeo. Aber Dctcr deo eiamanteliKen
Kegeln vom Gescbkcble Eins gibt ea nocb
«inen aaBgeieichneteD, bei dpm nämlicb die
drei Berührebenen der Wendekanten dnrcb
eine Gerade hindarchgeben, and dieser ist
ein Zwischenglied e wischen Bolcheu, bei
deoen der Kegelmantel eich entweder darch
drei Dreikanle oder dnrch drei Vierkante
hindurch windet, die dorch jene diei Berühr-
ebenen und die Ebene der drei Wende-
kanten begrenzt werden.

Dem entsprecben die folgende» Modelle:

li, (XXV, 4.) Der Kegel besteht ans

inem paaren nnd einem nnpaaren Mantel.

Uk. 20.—.

76. {XXV, 6.) Der Kegel beiteht am
einem einzigen nnpaaren Mantel tnd durch-
zieht die Dreikante . . . . Mk. 16.—.

77. (XXV, C.) Der Kegel beileht am
. einem einzigen nnpaaren Mantel nnd dnrch-

Eieht die Vierkante .... Mk. 30.—.

78. (XXV, 7.) Der Kegel besteht ans
einem einiigen nnpaaren Mantel nnd hesitct
drei dnroh eine Gerade gehende Weude-
berührebenen Mk, 16.—.

(Höbe der Modelle 17 cm.)

Ganze Serie Mk. 12B.— .

Vgl. die Modelle Nr. I.'i2, 153 (XVU, 2);

hier sind die Schnittearven der Kegel dritter

Ordnong mit Engeln dargestellt, die nm

ihre Spitzen bescbrieben werden.

II. Algebraische Flachen vierter Ordnung.

a) Cyoliden,

Unter Cyoliden im allgemeinen Sinn
(nach Darbonx) versteht man aUe diejenigen
Flächen vierter Ordnnng, welche den nn-
endlich fernen imagin&ren Kugelkreis zar
DoppelcnrvB haben. Sie sind die Enveloppen
aller Kngeln, deren Mittelpunkte anf einer
Fl&ehe i weiten Grades liegen und eine
gegebene Kngel stets orthogonal ichneiden.
Sie besitzen Scharen von Kreisen, die teil-
weise zngleicb Krümmnngslinien sein
können; die Krammungslinien sind im All-
gemeinen jedoch höhere algebraische Curven.
Diese Flüchen kOnuen bii 4 Knotenpunkte
enthalten.

Die FlBohen mit 1, 2, 3, 4 Doppelpunkten
erhält man auch durch Transformation
mittebt reciproker Radien beiiehnngtweise
ans folgenden Fliehen zweiter Ordnung:

a) allgemeine' Flftcbe zweiter Ordnnng,

b) beliebiger Kegel, c) Rotationsfläche,
d) Ereiskegel. Da die ErfimmungBlinien
dabei erhalten bleiben, und Gerade nnd
Kreise im Allgemeinen in Kreise, Ebenen
nnd Kngeln in Kugeln tibergef&hrt werden,
so besteht im Falle b) nnd c) das eine
System von Erfimmnugslinien ans Kreisen,
die sich in 2 Doppelpunkten der Flftcbe
schneiden, das andere wird durch Kugeln
ausgeschnitten (ist aphlHscb). Im Falle d)
sind die beiden KreisschsMi, welche ans

in. Algebraifiche Flftohen 4. Ordnnng: a. Cycliden.

den Erzeagenden, resp. Parallelkreisen des
llotationskegels sich ergeben, von denen
die ersteren sich in den 2 reellen, die anderen
in den 2 imaginären KDotenpankten sich
schneiden, zugleich Ernmmnngsliuien. Man
nennt diese letzteren Dnpin^sche Cycliden.
Dieselben ergeben sich anch als Enveloppen
aller Kugeln, welche 3 gegebene berühren.
Vergl. die Abhandlang von Maxwell in
Quart Journ. of Math. Bd. 9, pag. 111, sowie
Salmon - Fiedler, Geometrie des Kaumes,
II. Teil. Art. 313-323 (2. Aufl.).

79 —85. Dupln'aohe Cycliden. Sie wurden
mit Ausnahme von Nr. 80, 81 u. 85 von
Assistenten Dr. P. Vogel in München
modelliert. (B).

79. (V, 5 a.) Ringcyclidemit4imagin&ren
Knotenpunkten (davon ist die gewöhnliche
Wulstfläche ein specieller Fall). Die auf-
gezeichneten 2 Kreisscharen sind die
Krümmungslinien. (7x14 cm.) Mk. 9. — .

80. 81. (IX, 7 u. 8.) Dieselbe in anderen
Verhältnissen. Auf beiden sind ausser den
Krflmmungslinian noch Schnittcurven
mehrerer doppelt berührender Ebenen auf-
gezeichnet. Diese beiden Modelle sind
Abgüsse der im Besitze des mathematischen
Seminars in Berlin befindlichen, von Herrn
Kummer angefertigten Originale. (12x5 u.
9x6 cm.) . Preis zusammen Mk. 12. — .

82. (V, 5 b.)* Hornoyolide. Sie besitzt
neben 2 imaginären 2 reelle Knotenpunkte,
welche 2 auseinander liegende Flächenmftntel
vereinigen ; die aufgezeichneten Kreise sind
Krümmungslinien. (19x6 cm.) Mk. 11.60.

88. (V,5c.) Spindeloyclide. Sie besitzt
neben 2 imaginären 2 reelle Knotenpunkte,
welche 2 ineinander liegende Flächenm&ntel

vereinigen ; die aufgezeichneten Kreise sind
Krümmungslinien. (10x11 cm.) Mk. 6.50.

84. (V, 5d.) Parabolische Hornoyolide.

Sie besitzt 2 reelle Knotenpunkte, welche
durch eine auf der Fläche liegende Gerade
verbunden sind; die 2 imaginären Knoten-
punkte liegen ebenfalls auf einer zur ersten
senkrechten Geraden; die Fläche ist bloss
dritter Ordnung (die reelle unendlich ferne
Ebene sondert sich ab). (15x12 om.)

Mk. 11.50.

85. (X, 5.) Parabolische RIngcyclide.

Bei ihr sind alle vier Knotenpunkte ima-
ginär, die Verbindungsgeraden beider Paare,
welche ganz auf der Fläche liegen, dagegen
reell. Ausser diesen befinden sich noch 2
sich schneidende Geraden und eine unendlich
ferne auf der Fläche, die von der dritten
Ordnung ist. Die aufgezeichneten Curven
(Kreise) sind Krümmungslinien. Die Fläche
enthält, wie Nr. 84, den unendlich fernen
imaginären Kugelkreis nur noch einfach, es
sondert sich die unendlich ferne Ebene als ein
Bestandteil ab. Von stud. math. Finster-
walder. Erklärung beigegeben. (20x12 cm.)

Mk. 10.—.

86—88. (X,8.) Diese 3 Flächen sind

Cycliden Im weiteren Sinne mit 3, bezw. 2

Knotenpunkten. Sie wurden von stud. math.
Finsterwalder in München angefertigt. Er-
läuterung beigegeben.

Preis zusammen Mk. 12. — .

86. (X,8a.) Cycilden-Fläohe mit 2 oon-
Jugiert imaginären Doppelpunkten. (10x7 cm.)

87. (X,8b.) Cycliden-Fläche mit 2 con-
jugiert Imaginären Doppelpunkten und einem
reellen. (10x5 cm.)

88. (X,8c.) Cycliden-Fläche mit einem
uniplanaren Knoten, der durch Zusammen-
ziehen der 3 Knoten in Nr« 87 entsteht.

Die beiden letzteren Flächen sind Ortho-
gonalfiächen desjenigen Strahlensystems,
welches durch Beflexion eines Strahlen-
büschels an einem unendlich dünnen Kreis-
ringe entsteht. Im Falle Nr. 87 liegt der
leuchtende Punkt ausserhalb des Kreises

in. Algebraische Flächen 4. Ordnung.

in der Ebene desselben, im Falle Nr. 88
auf dem Kreise selbst.

Als Cycliden entsprechen die Flächen
Nr. 86—88 dem pag. 90 unter b) erwähnten
Fall; sie sind also durch Inversion aus einem
Kegel erzeugt, nnd zwar im Falle der ring-
förmigen (Nr. 86) und der hornförmigen
(Nr. 87) Fläche mittelst eines imaginären In-
versionscentrams ; die herzförmige (Nr. 88)
entsteht darch Inversion ans einem para-
bolischen Cylinder, wobei das Centrum auf
der Scheitelgeraden gelegen ist.

Die 3 Flächen sind Repräsen-
tanten von Flächen 4. Ordnung,
für die einMantel der Gentra fläche
sich auf einen Kreis reduciert.

b) Knmmer^sclie Fiacheii.

Die Kummer^sche Fläche (Singularitäten -
fläche eines Complexes zweiten Grades) ist
von der vierten Ordnung und von der vierten
Klasse und besitzt 16 Knotenpunkte und
ebensoviele Doppeltangentialebenen, welche
je 6 Knotenpunkte enthalten. Vergl.
Kummer, Abhandlungen der Berliner Aka-
demie von 1886 pag. 62 ff. ; Plückers Werk :
Neue Geometrie des Raumes etc., Leipzig
]868; Salmon, Geometrie des Raumes II.
pag. 411—414, sowie Kapitel XU.

89. (II, 1 a.) Alle 16 Knotenpunkte und
Doppeltangentialebenen eind reell. (22x18 cm.)

Mk. 24.—.

90. (II, Ib.) 8 der Knotenpunkte und
Doppeltangentialebenen sind reell. (30x20cro.)

Mark 28.—.

91. (11,1c.) 4 der 16 Knotenpunkte und
Doppeltangentiaiebenen8lndreell.(20xl5cm.)

Mk. 18.—.

Alle 3 Modelle wurden von stud. math.
Rohn in München (K) modelliert ; Erläute-
rungen werden beigegeben.

Zu den Kummer'schen Flächen sind ferner
noch die unter Nr. 301 (X, 7) und Nr. 303
(VI, 2) aufgeführten Wellenflächen zu
rechnen.

c) Flachen 4. Ordnung mit 4 längs
Kreisen berflhrenden Ebenen.

92-97, (IX, 1—6.) Diese Modelle sind
Copien nach den im Besitze des mathe-
matischen Seminars der k. Universität zu
Berlin befindlichen Originalen, von Herrn
Kuftimer besprochen in den Monatsberichten
der k. Akademie zu Berlin von 1862, 1866,
1872. Abdrücke werden beigelegt.

Die Gleichung aller dieser Flächen lässt
sich in die Form bringen: y^ — lpqrs=zo^
wo 9 = die Gleichung einer Fläche zweiter
Ord.; p, q, r, s z= die von 4 Ebenen be-
deuten ; es sind dies diejenigen 4 Tangential-
ebenen, welche die Flächen längs einer Curve
berühren. Die 4 Ebenen bilden in den
Modellen ein reguläres Tetraeder:

p:=. X ■\- y ■\- z — a

y = — X •\- y — z — a

/- = — X — y ■\- z — a

s •=. X — y — z — a,
und die 12 Schnittpunkte der 6 Kanten des-
selben mit der Fläche zweiter Ord., einer
Kugel, deren Mittelpunkt mit dem des Te-
traeders zusammenfiLllt und deren Gleichung
daher ist:

(p^x^ •\- y^ •\- z^ — r^ = 0,
sind Knotenpunkte der dargestellten Fläche
vierter Ord. Je nach der Annahme des
Radius der Kugel r und des Parameters k
(das Tetraeder als gegeben betrachtet) erhält
man verschiedene Typen, von denen die
charakteristischen modelliert sind.

92. (IX, 1.) Die Fläche besteht aus 4 oon-
gruenten Teilen, die in 6 bipianaren Knoten-
punkten zusammenhängen. Die zwei Tangen-

III. Algebraische Flächen 4. Ordnung.

tialebenen in jedem solchen Pnnkt sind reell
und berühren die Fläche in Kreisen. Sie
entsteht, indem die Kugel die Kanten des Tet-
raeders berührt, d. h. indem a =r /-, A < o ist.
Die aufgezeichneten Curven sind die Kegel-
schnittpaare, nach welchen die Fläche von
jeder Tetraederfläche geschnitten wird. Die
biplanaren Knoten besitzen hier die Eigen-
tümlichkeit, dass in denselben jede durch
den Schnitt der beiden Tangentialebenen
gehende Ebene die Fläche nach einer Gurve
mit Berührpunkt statt mit Spitze schneidet.
(11x11 cm.) Mk. 17.—

93. (IX, 2.) Wie oben. In den biplanaren
Knotenpunkten sind jedoch die Tangential-
ebenen imaginär; man erhält sie, wenn man
a^r setzt und A > o wählt. (10x10 cm.)

Mk. 19.—.

94. (IX, 3.) Römische Fläche von Stelner.

Man erhält sie, indem man a^=r, A=: 1 setzt.
Sie besitzt 3 sich schneidende Doppelgeraden
und ist von der dritten Klasse. Auf dem
Modell sind auch die Asymptotencurven
eingezeichnet. (10x10 cm.) . Mk. 10. — .

95. (IX, 4.) Fläche aus 10 (6 und 4 je
unter sich congruenten) Teilen bestehend,
welche in 12 conischen Knotenpunkten zu-
sammenhängen :

> a

^ < ff VT,

X > o.
(11x11 cm.) Mk. 23.-.

96. (IX, 5.) Fläche, bestehend aus 6 con-
gruenten Teilen, welche in 4 uniplanaren
Knoten zusammenhängen. Die Kugel geht

durch die Ecken des Tetraeders, die 3 Knoten
der dreizipfligen Teile der vorigen Fläche

vereinigen sich zu einem uniplanaren. Man

erhält sie für : r = a^^2,l>o. (10x10 cm.)

Mk. 21.—.

97. (IX, 6.) Fläche, bestehend aus 4
congruenten Teilen, die in 4 uniplanaren
Knoten zusammenhängen. Man erhält sie

r=a^^2,l<o. (12x12 cm.) Mk. 23.—.
Diesen Modellen ist als Erläuterung ein
Abdruck der in den Berliner Akademie-
berichten vom Jahre 1863, J866, 1872 er-
schienenen Abhandlungen von Prof. Kummer
über diesen Gegenstand beigegeben.

d) Flachen yierter Ordnung mit
Doppelgeraden.

98. (IX, 9.) Fläche 4. Ord. mit einer
Doppelgeraden. Auf derselben liegen 2 Zwick-
punkte und ein 3 facher Punkt, Durchstoss-
punkt der Doppelgeraden mit der Fläche.
Alle durch diese Gerade gelegten Ebenen
schneiden die Fläche nach Kreisen. Die
Fläche ist der geometrische Ort der
Krümmungskreise aller Normal-
schnitte in einem gewöhnlichen Punkte
(positiver Krümmung) einer beliebigen
Fläche. (Vergl. Salmon-Fiedler, Geometrie
des Raumes, II. Teil, 2. Aufl., Cap. VI,
§ 308.) (9x3 cm.) . . . . Mk. 6.—.

Abguss nach einem von Herrn Kummer
angefertigten und in dem Besitze des mathe-
matischen Seminars der Berliner Universität
beündlichen Modell.

Hl. Alg«briÜHohe Pl&ohen 4. OnlDimg: e. Kegelä&cheo.

»9. (X,4.) nSohe 4. Ord. mit 2 sloh
söhne Idandea Doppel geraden (bühmiscbes
Gewölbe), Sie be ei tat anf jeder der Doppel-
geraden 2 Zwickpnnkte, einen einfachen

Selbatbernhrangspankt, 4 nach Kreisen be-
rührende Tangentialebenen nnd entsteht
dadurch, dasa man den Itlittelponkt einee
Kreises anf einem andern von gleichem
Radins fortrQcken l&sst, wobei die Ebene
des beweglichen Kreisea «tets zu eich parallel
und senkrecht zur Ebene des feateii vom
Mittelpunkt des beweglichen durchlaufenen

bleibt. Von Stud. math, Finster-malder in

München. (6x10 cm.) . . . Mk. 3,50.

e) RegelflSfilieii vierter OnlnoDg.

Daroh Seiden^den in MetaUrahmen

dargestellte Modelle
nach Prof. Dr. K. Rohn tn Dresdön,

Vergl. Rohn'a ÄuiaatE: Die verschiedenen
Arten der RegelflUchen vierter Ord., Math.
AnnaL Bd. XXVIII; der Serie iat diese
Abhandlnag beigegeben nnd ist daselbst
anf die Modelle verwiesen.
Diese Hegelfl&ohen zerfallen nach der
Art ihrer Doppelcnrve in 4 verschiedene
Klassen; n&mlich:

1) solche mit 2 Doppelgeraden,

2) solche mit Doppelgerade und Doppel-
kegelBohoittt,

3) solche mit Doppelcnrve dritter Ord.,

4) solche mit dreifacher Geraden.

Jede dieser Klassen zerfällt weiter in
Unterklassen, je nach der Anzahl ihrer
reellen Zwickpnnkte, welche sich anf der
Doppelcnrve vorfinden. Die verschiedene
Art der Doppelcnrve einerseits nnd die
BealitAt der Zwickpnnkte andererseits be-
dingen die Verschiedenheit der Fläcben-
gestalten und damit zugleieh ihrer Pro-
jectionen, die sich ab Cnrven vierter Klasse

mit Kwei, resp. drei Doppeltangenten oder
einer dreifachen Tangente erweisen. Die
einielnen FIftchen sind möglichst eyrametrisch
conatruiert, ohne ihre Gestalt zu specialisieren.
loa. (XIII, 1.) Regelfläohe 4. Ord. mit 2
Doppelgeraden und 8 reellen Zwickpunkten;
sie besteht aus zwei congrnenten Teilen,
anf denen je ein Stück von jeder Doppel-
geraden verläuft Mk. 36.—.

101. (Xm,2) RegelflBohe 4. Ord. nit 2
Doppelgeradea ohne reelle Zwtckpunkte ; sie
besteht BUB zwei congmenten M&nleln, die
sich längs der beiden Doppelgeradeo gegen-
seitig dnrchsetzen Mk. 44. — .

102. (XllI, 3.) Regelfläohe 4. Ord. mit 2
Doppelgeraden; auf der einen Degen 4 reelle,
auf der andern 4 imaginäre Zwioicpunkte.
Sie besitzt zwei congruente Mäntel, die sich
längs der einen Doppelgeraden durch-
schneiden, während jeder Mantel ein Stück
der anderen Doppelgeraden enthält. Mk.40. — .

103. (Xm,4.) Regelfläohe 4. Ord. mit
2 Imaginären Doppelgeraden; sie besitzt iwei
congruente Mäntel, dieHyperboloiden ähnlich
gehen. Die Projoction eines solchen Manteli
besteht ans zwei hj^erbelartigen Aesten,
deren einer zwei Spitnen mit Doppelpunkt
aafweist Mk. 36.—.

104. (XIII, ö.) Regelfläohe 4. Ord. mit
Sei bitherDhrung «geraden und 4 raeiien Zwlok-
punkten ; sie besteht aus zwei congmenten
Teilen nnd erscheint ab interessanter Speoial-
fall der Fläche 100 .... Mk. 36.—.

1Q&. (Xm, 6.) Regeifläche 4. Ord. mit
dreifacher Geraden und 4 reellen Zwlok-
pankten; alle Erzeugende treffen eine Leit-

IV. A.1gebraiicb« t

1 hoher

als 4. OrdnoDg. Lioieagöonietno.

garada. Dieaa FUche beütit nar eiaen
Mantel, der nn 4 SteUeo eine Faltung zeigt.

Mk. 40,-.
10$. (XIII, 7.) Reseliläche 4. Ord. mit
drBifxebcr Geraden, deren Punkte zwei cod-
stoDte nnd eine bewegliche Tangeatialebeoe
aufweisen. Während die Ereeogende die
RegelSftche beachreibt, passiert sie zweimal
die Lage der dreifaciien Gereden, auf der
»wei höhere singalftre Punkte entstehen.

Mk. 40.—.

107. (Xm, 8.) RegelflSohe 4. Ord. mit
Doppelkreis und Doppelgeraden, die sich recht-

winklig schneiden; auf jeder Doppelcnrve
liegen zwei reelle Zwickpankte. BieFltche
iat meiirfach Byrnmetriscb; der Selbatbe-
rahrnngspankt (Scboittpnnkt von Ereia nnd
Geraden) hegt reell auf der Fläche. Mk, 44.— .

108. [XUI.9.) Regelfläche 4. Ord. nit
DoppdoBrve 3. Ord. usd vier reellen Zwlok-
puikten. Die fliehe besteht aus einem
Mantel, auf dem zwei Stücke der Doppel-
cnrve liegen; die Erzeagenden sind teila
reelle, teils ideelle Doppelaecanten der
iUumenrve 3. Ord., darunter vier Tangenton.
Mk. 40.-.

lOS. (XIII, 10.) Regelflichfl 4. Ord. mit
Doppelourve 3. Ord. ohne reelle Zwiokpankte.
Auch diese Flftche besitzt nur einen Mantel,
der eich jedoch IftngB der ganzen Doppel-
cnrve selbst durchsetzt. Gleichwohl sind die
Erzeugenden wieder zum Teil reelle, znm
Teil ideelle Doppel secanten der Kaumcnrve
3. Ord,, nnter denen sich wieder rier Tan-
genten befinden Mk. 40, — .

(GröBBe aller ModeUe 18x18 cm.)

Ganze Serie Mk. 380.—.

IV, Algebraische Flächen von höherer als 4. Ordnung.
Liniengeometple.

HO. (X, 9.) FISohe 8. Ord. Sie besitzt
2 za einander aeukrechte, Bich schneidende
Selbstberübrungsgeraden, von denen jede in
2 Dniptanaren Funkten höherer Ordnung
(dnrch ZnEaramenzieben von '2 Zwickpunkten
entstanden) aus ihr heranstritt, 2 congruenle
ebene Doppelcnrven 4. Ord., die im Mittel-
punkt (höbe Singularität) einen Selbstbe-
rOhrungspunkt besitzen nnd aus der Fläche
io zusammen 8 Zwickpnnfcten heraustreten,
endlich 2 Doppeltange ntialebe neu, welche
die Flftche lllngs zweier Kreise berQhren. Sie
entsteht durch die Bewegung eines Kreises

1 nn veränderlichem Radius dadurch, dass
die Endpunkte eines Dnrchmesscrs desselbeo
stets auf 2 zn einander senkrechten Geraden
gleiten (die beiden Selbstberührungsgeraden),
während die Ebene des beweglichen Kreises
stets auf der Ebene der beiden Geraden
senkrecht steht. Die genannte Fläche ent-
hftlt den unendlich fernen imaginären Kngel-
kreis als Doppelcurve. Von stad- math.
Finster-dialder in München (B). (7x5 om.)
Mk. 4.—.
111. (Vlll,3,) Fläche 12. Ord. Ihre Ho-
rizontalsclinitte sind solche Br enaliDien,

IV. Algebraische Flächen tod höherer als 4. Ordnung. -. Lipiengeometrie.

wie sie durch Reflexion eines von
einem Funkt ausgehenden Strahlen-
büschels an einem Kreise ent-
stehen. Dieselben sind so auf einander
geschichtet, dass die reflectierenden Kreise
einen Kreiscylinder bilden, während die
leuchtenden Punkte eine um 45® gegen die
Horizontalebene geneigte Gerade ausfüllen.
Die Fläche kann angesehen werden als ein
Teil der Brenn fläche der von einer
leuchtenden Linie ausgehenden Strahlen
nach ihrer Reflexion an einem Cy linder,
dessen Axe die Linie trifft. Die Fläche
besitzt als Rückkehrkanten 2 sich in einem
Punkte berührende gleichseitige Hyperbeln
und eine weitere Raumcurve, die sich selbst
und die Hyperbeln in dem genannten Punkte
berührt. Von stud. math. Finsterwalder in
München (B); hierzu eine Erläuterung.
(13x20x12 cm.) Mk. 1.5.—.

112—114. (1,2.) Fläche 12. Ordnung.
Brennfläche, welche von einem zur Axe wenig
geneigten Parallelstrahlen-Syetem nach deren
Durchgang durch ein centrieries Lineensystem
eingehiilli wird. (Yergl. Seidel, Schnmaohers
Astron. Nachrichten, Nr. 1027 ff., Monats-
berichte der Berliner Academie, Dec. 1872,
Finsterwalder, Abh. der bayer. Acad. von
1891.) Das Modell ist affin zu der Ce n tra-
fläche des Paraboloids:

die vorzunehmende Transformation wäre
Xz=zx, Yzzzzy, Z=\T^.z. Die Fläche
besitzt 2 Rückkehrkanten, beide gewöhnliche
Parabeln, welche in zu einander senkrechten
Ebenen liegen; femer eine Doppelcurve
12. Ord., längs deren sich die beiden Mäntel
durchsetzen. Von stud. math. Schleie rmacher
(B). Erläuterung beigegeben.

112, 113. (1, 2a.) Die beiden Mäntel
der Fläche getrennt. (10x10 u. 7x7 cm.)

je Mk. 5.—.

114. (1, 2b.) Die beiden Mäntel vereinigt.
(10x11 cm.) Mk. 5.—.

115-117. (1,3.) Fläche 12. Ordnung.
Centrafläche des einschaligen Hyperboloids.

Sie besitzt 3 ebene Rückkehrkanten, nämlich
2 Hyperbeln und eine Ellipse, welche in 3
zu einander senkrechten Ebenen liegen;
ferner eine Doppelcurve 24. Ordnung. (Vgl.
Cayley, On the Centro-Surface of an
Elllpsoid. Cambridge, Philos. Transactions,
vol. XII pag. 319 ff.; Salmon-Fiedler,
Analyt Geometrie des Raumes Bd. 1, Art.
207 und Bd. 2, Art. 244, 2. Aufl.) Von
stud. math. W. Dyck (B). Erläuterung bei-
gegeben.

115.116. (I,3a.) Die beiden Mäntel
getrennt. (17x16 cm.) zusammen Mk. 17. — .

117. (I, 3 b.) Die beiden Mäntel vereinigt.
(17x16 cm.) Mk. 10.—.

Zu den algebraischen Flächen gehören
auch einige der Rotationsflächen mit Asym-
ptoten curven, und zwar Nr. 176 — 180,
182— 185(X, 10.), ferner die Typen conischer
Knotenpunkte Nr. 188-191 (XV11,7.), die
Minimalfläche 9. Ord. Nr. 224 (VID, 2.)
und die Modelle zur Funktionentheorie
Nr. 263-265, (XIV,1. 2. 3.).

V. Schraubenfl&chen.

V. Schraubenflächen.

118—123. (XX, 1—5.) Fadenmodelle der
Regelechraubenflächen. Von Assistenten

C, Tesch in Karlsrnhe (W).

Eine Schranbenfläche wird von einer
Cnrve beschrieben, die um eine Axe eine
Schraabenbewegnng ausführt. Wird eine
Gerade als diese Curve gewählt, so unter-
scheidet man geschlossene und o£fene
Schraubenfiächen, je nachdem die gebrauchte
Gerade die Schraubenaze trifft oder nicht.
Von den offenen Schraubenflächen sind ferner
drei Hauptf&Ue zu unterscheiden, welche
die Modelle 1—3, von den (in der Technik
besonders benutzten) geschlossenen dagegen
zwei Hauptfälle, welche die Modelle 4 und 5
darstellen. Bei den offenen Schraubenflächeu
bezeichnet mau ferner als „Kehlschrauben-
liuie^* den Ort, den der Schnittpunkt der
Geraden und ihres kürzesten Abstandes mit
der Axe bei der Schranbung beschreibt.

Die Erzeugenden der Fläche sind durch
schwächere, die Doppelliuien durch stärkere
Fäden bezeichnet. Es ist ein Gang der
Schraubeufläche dargestellt, letztere durch
einen coaxialen Cylinder begrenzt.

118. (XX, l a.) Abwickelbare Schrauben-
fläche. Der Neigungswinkel der Erzeugenden
gegen die Ebene senkrecht zur Axe, den
„Normalachnitt", ist gleich dem der Tan-
gente der Rehlschraubenlinie (ihrem Stei-
gungswinkel). Der Schnitt normal zur Axe
ergibt die gemeine Kreisevolvente. Die
Schraubenlinie des Gestelles ist eine Doppel-
linie der Fläche. Die Abwickelung eines
Flächenstückes ist beigefügt. (20x22 cm.)

Mk. 35.—.

119. (XX, 1 b.) Dieselbe Fläche aus Carton
hergestellt. (20x22 cm.) . . Mk. 5.—.

120. (XX, 2.) Der Neigungswinkel der
Erzeugenden gegen den Normalschnitt ist
kleiner als der SteiguDgswinkel der Kehl-
schraubenlinie. Die Fläche ist nicht ab-
wickelbar. Der Normalschnitt ergibt eine
verschlungene Kreisevolvente. (20x22 cm.)

Mk. 35.-.

121. (XX, 3.) Der Neigungswinkel der
Erzeugenden gegen den Normalschnitt ist
grösser als der Steigungswinkel der Kehl-
schraubenlinie. Die Fläche ist nicht ab-
wickelbar. Der Normalschnitt zeigt eine
geschweifte Kreisevolvente. Die Schrauben-
linie des Gestelles ist eine Doppellinie der
Fläche. (20x22 cm.) . . . Mk. 35.—.

122. (XX, 4.) Gerade geschlossene
Schraubenfläche (Wendelfläche), bei der die
Erzeugenden die Schraubenaxe senkrecht
treffen. (20x22 cm.) . . . Mk. 30.—.

123. (XX, 5.) Schiefe geschlossene
Schraubenfläche, bei der die Erzeugenden die
Schraubenaxe schief treffen. (20x22 cm.)

Mk. 30.—.

Der vorletzte Fall kommt (in Verbindung
mit cylindrischen Begrenzungen) bei
Schrauben mit flachem Gewinde zur Ver-
wendung, der letzte bei Schrauben mit
schai'fem Gewinde.

Ganze Serie Mk. 160. — .

NB. Hierher gehören auch die unter
Nr. 244 u. 245 (XXVI, 16 u. 17.) aufgeführten
Schraubenlinien.

124. (VUI, 5.) Röhrenschraubenfläche.
Sie ist die EiuhüUende aller Kugeln von con-
stantem Radius, deren Gentra auf einer
Schraubenlinie liegen. Das eine System
der Krümmungslinien besteht aus den zur
mittleren Schraubenlinie senkrechtenKreisen,
das andere aus transcendenten Curven (weiss),
die jedoch nicht Schraubenlinien wie die
blau gezeichneten sind. Das Problem der
Krümmungslinien führt auf Kreisfunctionen,
die Asymptotencurven führen dagegen auf
elliptische Functionen. Von Assistenten
Th. Ktien (B), dazu eine Erläuterung
(20x30 cm.) Mk. 13.—.

NB. Andere Schraubenflächen finden
sich unter Nr. 205 (V,3) Schraubenfläche
von constantem positiven Krümmungsmass,
Nr. 211 (V, 4) Schraubenfläche von con-
stantem negativen Krümmungsmass, und
No. 214 (Vni, 7 a).

VI. BaQmcnrven und abwickelbkre FUcheD.

VI. Raumourven und abwickelbare Flächen.

12&-1S2. [XI.) Modelle (aus Draht) der
geauntBii 8 Typen In Bezug auf dae Ver-
halten eines Raumcurven-Elemeata von Prof.

Chr. Wifner in KarlsraliB. (11x17 cm.)
fieachreibt ein Pnnlct (Pj eine unebene
RftnmcDTve, ao bewegt aiob im Allgemeinen
zngleioh seine Tangente nnddieSchmiegnngs-
ebene. Dabei kann eo (ich ereignen, daaa
von den 3 Elementen einea oder Kwei oder
alle drei atationttr werden. Den 8 Terechie-
denen FKllen, die hierbei eintreten kOnnen,
entepreohen 8 Typen eines Elementa einer
HaamcDTVB mit im Allgemeinen Bingnl&rem
Verbalteo. Vergl. AuafQbmng in Serie XI
im I. Teil. . . . Znsammen Mk. 45.—.
133. (VI, 6 a, b, o, d.) Die Raumourvea 3.
Ord. auf Cyllndern 2. Ord. Je nachdem die
nnendlieh ferne Ebene einer aolcben Cnrve
in einem reellen, oder in 3 reellen, oder in
einem reellen und 2 zasammenfallendeD
(Berühmng), oder endlich in 3 znaammen-
fallenden (Oscnlation) Punkten getroffen
wird, nnteracbeidet man 4 verachiedene
Typen, welche cnbiache Ellipse, Hyperbel,
cnbiach-hyperbolische Parabel und cabiache
Parabel genannt werden, nnd die aof
elliptitchen, hyperbotiachen (Hyperbel nnd
cabiach hyperbolische Parabel) nnd para-
bolischen Cylindem liegen. Vei^l. Salmon-
Fiedler, Geom. des Baumes, U. Teil, pag.
88 ff. (2. Anfi.) Von atnd. math. Ungi
modelliert nnd mit einer Erl&ntemng ver-
sehen (K). (10,5x6,5 cm.)

Zasammeo Mk. 18. — .

134-13«. (XXVm, 1-6.) Sechs Modelle

iiir ThMrIe isr eablsohen Riumcurve und

ihrer Anwendung in der phyaiologi sehen
OpUk. (K.,Sg.) Mit einer Abhandlung. Von
Dr. W. Ludwig. Breslau.

Die cnbische Raamcnrve kann definiert
werden als der Ort der Schnittpunkte je
dreier entsprechender Ebenen ans drei pro-
jectiven Ebenenbtlacheln oder aU der Ort
der Punkte, in deren jedem aich iwei ent-
apre chen de Strahlen ana zwei koUinearen
Bündeln begegnen, oder endlich als Grond-
curve einea besonderen Bündels (Netzes)
von Flachen 2. Grades, Ans jedem ihrer
Pnnkte wird sie dnrch einen Kegel 2. Oradea
projiciert, aus ihren drei unendlich fernen
Punkten also darch drei Cylinder 2. Grades;
dabei treten «ier gestaltlioh ganz verachie-
dene Typen der Cnrve auf, die auf Celluloid-
cylindem in Metallrahmen dargestellt sind,

13i. (XXVIU,l.) Die cuhlBDho Ellipse
mit nur einem reellen nnendlicb fernen
Pnnkte nnd einer reellen Aaymptote; mit
dieser zaaammen liegt sie anf einem ellip-
tischen Cylinder, (12xl4x40cm.)Mk. 25.—.

135. PCXVIII, 2.) Die oublsche Hyperbel
mit drei getrennten reellen enendlich femeit
Pnnkten und drei reellen Asymptoten; eie

VI. ßanALcarren und abwiclielbare Pllchen.

liegt mit jeder der letiteren nuammen »af
einem hyperboliichen Cjliiider, in deisen
AeymptotenebeDeu eich jedeamal ihre beiden
anderen Aaymptoten befinden; die Cnrve
ist ftof dem eineD dieser drei Cjlinder d«r-
geeteUt (19x28x40 cm.) . . Mk. 40.—.

136. {XXV1II,3.) Die oubliobe pan-
boliaohe Hyperbel, welche die unendlich
ferne Ebene in einem reellen Punkt schneidet
nnd in einem «weiten berührt; nach dem
ersten geht die einidge Asymptote der Cnrve,
mitderiDiammen sie aof einem paraboliachen
Cjlinder liegt ; der zweite bestimmt die
Richtang der Kanten eines bjperbaliBcheD
Cjlinder«, der unsere Cnrve ebenfalk trflgt.
(16x16x40 cm.) Mk. 2Ö.— .

137. (XXVIII, 4.) Die (rbnliclie) ouMsobe
Pmbel, welche die iinendlich ferne Ebene
tat Sohmiegnngeebene hat; dnrch sie '
geht nur ein parabolischer Cylinder, auf
dem sie in diesem Modell dargestellt ist.
{16x16x40 cm.) Mk. 26.-.

Dnrch einen jeden Pnnkt des Raomes
femer, der nicht anf der enbisohen Raum-
cnrve liegt, geht stets eine nnd nur eine
reelle Gerade, die iwei Punkte der Cnrve
trigt; diese beiden Punkte sind entweder
reell nnd getrennt, oder sie fiülen ia einen
reellen Pnnkt znsammen, (so dass die Qerade
Tangente der Cnrve ist,) oder endlich sie
sind conjngiert imaginlr. Die Projection
der onbischen Ranmcnrve ans einem Punkte
des Raumes anf irgend eine Ebene ist eine
ebene Cnrve 3. Ordnung, die im ersten
Fall einen gewöhnlichen Doppelpunkt, im
t weiten einen Rückkehrpnnkt nnd im
dritten einen isolierten Doppelpunkt hat.
Die Punkte in denen der cweite Fall eintritt,
zeigt das folgende Modell.

138. (XXVm,5.) Abwlokelbve Fläobe
der Taagenteo der Raunourve (Fadenmodell).
Diese Fl&che trennt die Punkte des ersten
Falles von- denen des dritten. Sie ist in
diesem Modell für die im Modell 134 ab-
gebildete onbische Ellipse dargestellt, be-

grenzt durch ihre Scimittcurven mit vier
passend gew&hlten Ebenen; zor Qratcnrve
bat sie eben jene cubische Ellipse nnd ent-
hält die Asymptote derselben, die durch
einen weiss -roten Faden angedeutet ist.
(36x40x40 cm.) Mk. 26.-.

139. (XXVIII, 6.) Haropter. Eine inter-
essante Anwendung findet die Theorie der
cubiachen Raumcurve in der physiologischen
Optik. Blickt man n&mlich mit beiden
Augen nach einem Punkte im Rauine hin,
so vereinigen sich die auf den beiden Netz-
hinten entworfenen Bilder dieses Punktes
zu einer einzigen Empfindung; man sieht
den Funkt einfach. Von den übrigen Punkten
des Raumes werden bei dieser bestiminten
Angenstellung nur gewisse Punkte ein&ch
gesehen, die anderen aber doppelt, eine
Thatsacbe, deren wir uns allerdings fsr ge-
wöhnlich nicht bewusat werden. Den Ort
der bei einer bestimmten Angenstellni^
einfach gesehenen Punkte des Raumes nennt
man deu zu dieser Angenstellung gehörigen
Horopter; derselbe ist eine cubische
Ellipse, die anf einem Ereiscylinder liegt
und eine Symmetrieaxe hat. Das vorliegende
Modell nun ist die verkleinerte Dantellung

100

Tl. RanmoDTVen und tbwiokeltwre Fliehen.

eines wirklicbeo Falles. Auf einer schwarz
geh&ltenen S&ale sind zwei £ngeki ange-
bracht, welche die ÄDgen bedeuten; eine
dritte Engel stellt den fixierten Kaumpankt
nnd die sie mit den beiden ersten Engeln
verbindendeu St&be die Blicktinien dar; dieae
Teile sind ans Kupfer gearbeitet nnd rot-
gelb. Die Horoptercnrve ist in Meeeing
(hellgelb), ihre Asymptote und ihre Syin-
metrieaxe in Nickel (weiss) ansgefahrt.
Darob die beiden starken weissen Linien
auf dem Fnasbrett sind die Lagen der Median-
ebene nnd der Frontalebene angegeben
nnd durch den kleinen schwarzen Bing an
der Asymptote die Lage der durch die Kern-
punkte gebenden Horizontalebene. Um die
Neignng der Asymptote hervorzuheben, ist
ihre orthogonale Projeotion all feine weisse
Linie auf dem Fnasbrett eingezeichnet.

(20x23x47 cm.) Mk. 25.—.

b)anze Serie Mk. 160.—.

110. (XXIII, 7.) Raumcirva 4. OrdRung
mit unendlich fernem isolierten Doppelpunkt;
von Prof. Dr. H. Wiener.

Sie ertcheint ala Schnitt dreier Cyiinder,
von denen der eine ein Umdrehoylinder, die
beiden anderen parabolische Cjlinder sind.
Die Cylinder aind hi einem Meesingrahmen
dncob FUen dargestellt (12Xl4cm.)Uk.3.20.

141-144. (XII, 1-4.) Vier Fadanmodelle
Vk der Raumourve 4. Ord. erster Art ind
Ihrer abtirioltelbireD Fläobe. Von Prof. Dr.
H. Wiener in Earlsrohe. Vergl. die Be-
schreibung bei Serie XII.

111. (XU, 1.) Erster Fall. Die Curve liegt
tuf vier reellei Kegelt. Darstellnng der

Cnrve als Schnitt dieser Kegel. (80x30x80

cm.) Mk. 110.—.

142. (XII, 2.) Die abwickelbare Fläohe der

TaagenleB dieser Curve. (30x30x30 cm.)

Mk. 110.—.

14S. (XU, 3.) Zweiter Fall. Dia Curve Hegt
auf zwei reellen und iwei ImaglnSrea Kegeln.

Daratellang ala Schnitt jener beiden. Das

■Modell zeigt zugleich die abwickelbare

Fläche ihrer Tangenten. (30x30x30 cm.)

Mk. 110.-.

144. (XII, 4.) Dritter Fall. Die Curve liegt
aaf vier inaginirea Kegeio. Darstellnng
als Schnitt iweier geradliniger Hyper-
boloide. Das Modell ze^^t zugleich die ab-
wickelbare FUche der Tangenten.

(30x27x32 cm.) Mk. 70.—.

Ganze Serie Mk. S80.— .

145—151. (XXI,I-7.)Fadenniedelleder
abwlokelbaren Fläohen der Raunourvea 4,
Ord. zweiter Art Von Prof. Dr.A'ar/ÄöAB
in Dresden.

Bei den Banmcurven 4. Ord. zweiter
Art, die sich als teilweiser Schnitt eines
Hyperboloids reit einer Fläche 3. Ord. dar-
stellen, existiert ein Fundamentaltetraederi
in Bezug auf dieses groppieren sieb die
Carvenpnnkte zu je vier derart, dass ihre 6
Verbindungslinien die Oegenkanten des Te-
traeders paarweise treffen, nnd dass sie dnrch
die Kanten harmonisch getrennt werden.
Drei der Eanlen des Tetraeders sind Doppel-
Becanten der Cnrve. Das Tetraeder ist
zngleioh Folartetraeder ftlr daa Hyperboloid,
auf dem die Cnrve gelegen ist. In den
Modellen 1, 2, 3 n. 1 wnrde ein Bo-

VI. Ramnonrven and abwickelbare Fl&ohen.

101

tationshyperboloid nnd seine Azen als Doppel- \
secanten gewählt. Dreht man die Cnrve nm
eine der drei Axen nm 180®, so nimmt sie
wieder die nämliche räumliche Lage ein.
Von Bedentang sind die 4 Pnnkte (W) mit
Wendeberührebenen. Die Doppelcnrve der
abwickelbaren Fläche geht dnrch sie hinduroh
nnd sie erscheinen deshalb als Zwickpnnkte
derselben. Ferner gibt es 4 Curventangenten
(T), die die Cnrve noch in einem weiteren
Punkte schneiden. Diese Pnnkte bilden
Spitzen für die Doppelcnnre, nnd längs jener
Tangenten durchschneidet die abwickelbare
Fläche das Hyperboloid. Dargestellt sind:

145. (XXI, 1.) Raumcurve 4. Ordnung mit
4 reellen (T) und keinem reellen (W). Die
Trisecanten schneiden die Cnrve, die ganz
im Endlichen liegt, teils in drei, teils in
einem reellen Punkte. Die abwickelbare
Fläche liegt teils ausserhalb, teils innerhalb
des Hyperboloids, das sie längs jener Tan-
genten durchdringt; ihre Doppelcnrve lieg^
ganz ausserhalb und ruht mit 4 Spitzen auf
demselben auf. Mk. 60. — .

146. (XXI, 2.) Raumcurve 4. Ord. mit
reellen (W) und ohne reelle (T). Die Cnrve
liegt ganz im Endlichen; alle Trisecanten
treffen sie nur in einem reellen Punkte.
Die abwickelbare Fläche liegt ganz ausser-
halb des Hyperboloids; ihre Doppelcnrve
durchdringt das Hyperboloid in jenen 4
Punkten, welche Zwickpunkte für sie sind.

Mk. 50.—.

147. (XXI, 3.) Raumcurve 4. Ord. ohne
reelle (T) und (¥0. Die Cnrve verläuft vier
Mal durchs Unendliche. Die Raumcurve
projiciert sich für das Auge als ebene Cnrve
mit dreifachem Punkte oder mit drei reellen
Doppelpunkten, von denen einer isoliert sein
kann Mk. 30. — .

14S. (XXI, 4.) Raumcurve 4. Ord. mit
zwei Streckungspunkten (drei consecutive
Curvenpunkte in gerader Linie). Diese Cnrve
bildet den üebergang von XXI, 1 nach 2.
Die abwickelbare Fläche zeigt eine Doppel-
cnrve von gleicher Beschaffenheit, wie die
gegebene Raumcurve nnd ausserdem zwei

Rückkehrgeraden, nämlich die Tangenten
in den Strecknngspunkten. Im Fall 1 ver-
einigen sich diese Rückkehrgeraden mit der
Doppelcnrve, wobei dann die Spitzen ent-
stehen ; im Fall 2 verschwinden sie. Mk. 40.^.

149. (XXI, 5.) Raumcurve 4. Ord. mit
zwei reellen (T) und zwei reellen (W). Sie
läuft zwei Mal durchs unendliche, kann aber
ganz ins Endliche gebracht werden. Von
dem Fundamentaltetraeder sind hier nur
noch zwei Gegenkanten reell, von denen
eine als Axe des Hyperboloids in der Ebene
des Kehlkreises gewählt ist. . Mk. 50.—.

150. (XXI, 6.) Specialfall des vorigen.

Die beiden Punkte mit Wendeebenen fallen
mit den Schnittpunkten der beiden schnei-
denden Curventangenten zusammen. Natür-
lich ist auch diese Curve nnr in Bezug auf
eine Axe symmetrisch. Die abwickelbare
Fläche besitzt eine dreifache Curve
— im Modell ist sie ein Kreis — , die dadurch
entsteht, dass im Fall 5 jede Spitze der
Doppelcnrve mit einem ihrer beiden Durch-
dringungspnnkte (Zwickpunkte der Fläche)
zusammenrückt Mk. 45. — .

151. (XXI, 7.) Raumcurve 4. Klasse,
die aus XXI, 6 durch reciproke Kanmtrans-
formation abgeleitet ist; sie liegt auf einem
Kreiscylinder nnd besitzt zwei Spitzen.

Mk. 45.—.
Yergl. auch die Erläuterung bei Serie XXI.
(Grösse aller Mod. 20x20x20 cm.)

Ganze Serie Mk. 300.—.

152. 153. (XVII, 2.) Die sieben Haupt-
typen der ebenen Curven 3. Ord., nach MSblus
auf einer Kugel dargestellt. Yergl. die Mo-
delle der Kegel 3. Ordnung, Nr. 72—78.
(XXV, 1-7.)

Diese sphärischen Curven vereinigen
die gestaltlichen Eigentümlichkeiten der
coUinear-verwandten Typen in einem Bilde,
während jede ebene Darstellung den Verlauf
der Cnrve im unendlichen entstellt.

Von den 7 Typen sind drei durch Spaltung
eines der 5 Newton^schen Haupttypen ent^
standen. Sie bestehen aus einem unpaaren

los

Tn. Inflniteumalgeometri« der Fltohen.

Zag nod nnteracheidan äoh Dur durch die
Lage der VerbiodiuigBlmie der Wendepnnkte
gegen das Dreieck der WeadetaDgeuten.
Sie Bind hier anf einer Engel (Nr. 153)
vereinigt. Die andere Engel (Kr. 153)

enthält die Typen mit Oval, mit Doppel-,
Rflokkehr- nnd isoliertem Pnnkt.

Oonstmiert von atud. DolUnger in Tü-
bingen (B). (10 cm.)

Beide Engeln znsainmeii Mk. 10.—.

VII. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

») Erflmmiiiig der FlSohen Im
einzelnen Punkte.

161-l&e. (XXn, 1-3.) Cxrtonnodelle
Bber die KrOanung der Fliehen, entworfen
von Ingenienr C. Tesch in Earlsmhe (W).

Sind r, und r^ die Haoptkrümmnngs-
radien einer Fl&che in einem gewiesen Fnukte,
80 sind fOr das Ganss'sohe ErfimmnngBmaaB
die drei Falle En nnteraoheiden i

i.iio.

r, r, <

Ihnen eotsprechend liegen die Erllni-
mnngskreise anf derselben Seite der
BeiühmngBebene, oder der eine der Haupt-
krümmnngskreiae ist in eine Qerade Dber-
gegangen, oder die Erflmmnngskreise liegen
anf beiden Seiten der BerUbrnngsebene.

Jedes der diese 3 lUle darstellenden
Modelle zeigt aniser 12 Erfimmangakreisen
noch die Schar der Sohmttcnrven der von
den ErSmmnDgskreisen gebildeten Fl&che
mitsorFIftchenDormaleienkrecbten Ebenen.
Znaammen Mk. 16.— .

1t) KrDnunnnssllnlen, Inslwsondere

anf den FlSohen 3. Ordnung;

eonfoeale VlSohen.

157. (XXm, Ib.) Kleines dreltxigei EIIlp-
Bold nit KrilMMiiFiiilInlep . . Mk. 2.—.

16S. (UI,2.) Elllpsold mit KrDnmungt-
Itnlen. Modelliert, wie ancb die übrigen
Fliehen 2. Ordnnng mit Eramninngslinien,
von H. Diesel in Mflnchon (B). Nebst zwei
erl&atemden Abhtndlnngen.

Die Hyperboloide erster nnd zweiter
Art, welche mit dem flllipsoid zn demselben
confooalenFItLcbensysterogehAren, schneiden
ans ihm die Erümmnngslinien ans (die
Schoittonrven eines confooslen Flächen-
systems sind fOr alle 3 Scharen Erfimranogs-
linien). Man kann diese Cnrven aach da-
durch erhalten, dass man in 2 von den 4
Nabelpnnkten (den Ber&hrpnnkten der eq
den Ereisschnitten parallelen Tangential-
ebenen) die Endpnnkte eines Fadens be-
festigt nnd ihn vermittelst eines Stiftes an-
spannt Lftsst man den Stift sich bewegen,
so beschreibt er eine Erfimmnngalinie.
Axenverh&ltnis des BIlipsoida ^ V2- VT,
grosse Halbaxe 5 cm. (10x6 cm.) Mk. 2.80.

IM. (m, 4.) Dasielh«, grosse Halbaxe
9 «m. (18x11 cm.) . . . . Mk. 6£0.

Vn. lafinitsaimalgeometrie der Elftolieii.

l(tO<). (XVI, 1.) EllIpMld, welche! durch
seine KrDnnungillnlen In unendllcb kleine
Quadrate letelH wird. Yon Prof. A\-<ruius
in Helsingfors. Es sind die 3 HaupUchnitte
ond 18 Krümm uiigalinien anfgeieiohnet.

161». (XVI, 2.) Rechteckige Platte hiertn,
mit geraden Liniea verseheii, welche den
KrämmangalinieD auf dem Ellipaoid ent-
eprechen.

1620. (XVI, 3.) Kugel mit 3 grössten
Kreisen nod 18 confocalen 8|ihSrl8CheB
Kegelschnitten, welche wiedei-am den Erflm-
muDgalinien dsB Ellipsoidi entspreche d.

Zu den drei Modellen gehört ein gemein-
samer HolzDnteraatz.

Zusammen Mk. 30. — .

163. (XVI, 6.) Verelnlguag dea vorge-
nanntee Ellipsoids mit einem confocalen
einschaligen Hjrperboloid , . Mb. 16. — .

164. (XVI, T.)'.Vere1n1gnng':desBelben El-

lipBoids mit einem confocalen zweischaligen
Hyperboloid . Mk. 18.—.

16&. (XVI, 9.) Vereinigung des Ellipsoids

mit einem confocalen ein schaligen ond

einem confocalen iweibohaligen Hyperboloid.

Mk. 22.-.

166. (III, 7.) EInschatIgei Hyperboloid ntt
KrBmmungsttnlen. (23x23 um.) Mk. 11.—.

Die Modelle Nr. 16S bia 166 sind von
atnd, math. Haussner in QOttingen (S) her-
gestellt.

167. (in, 18.) Elliptlsoher Kegel ■» Krila-
nungslinlen. Die eine Schar von Erfimmnngs-
ÜDien sind die Erseagenden, die andern
aphärisohe Cnrven; sie werden durch den
Endpnokt eines Fadens beactmeben, deasen
anderer Endpunkt in der Spitse befestigt
ist Dieser Eei^el iat Aapnptotenkegel eq
Nr. 166 und 168. [23x13 cm.) Mk. 6.60.

168. (111,9.) Zwelichallgei Hyperboloid
mit KrümmungBlInlen. Es besitst 4 reelle
Nahelpnnkte. Daa eine System von Erfim-
mnngalinien, daa ans der FUclie durch die
ElHpaoide des zugehörigen confocalen
System B an sge schnitten wird, kann dorcb
dieselbe Fadenconstmction wie beim Ellipaoid
conetmiert werden, das andere durch die

VII. iDfiniteumalgeometrie der FlBcheti.

einschali^n Hyperboloide ansgefichtiittene
aber Dicht. (23x13 cm.) . . Mk. 16.40.

169. (111,12.) Elllptlaohes Parabolsfd mit
Krümniiingsllnlen. Diese Curven Bchlingen
sich um die 2 reellen Nabel punkte der
FlSche ; das gescliIoBsene Syatenv ItLsst sich
durch die beim ElUpsoid angegebene Faden-
construction linden. Diese FUche gehört
vermöge der Gleichung ;

einem dreifach orthogonalen Sjntera an,
das 2 Systeme von elliptischen Paraboloiden,
eins nach der positiven, das andere nach
der negativen Seite der s-Ax6 geÖtTnet, und
ein System hyperbolischer Paraboloide ent-
halt. Die Durchdringungscurven dieser
Fliehen sind Kriimmungslinien derselben.
(12x20 cm.) Mk. 6.80.

170. (III, 16.) Hyperbolisches Parabolold
ntt KrOmmungslInlen (vergl. Bemerkung zu
der vorhergehenden FUche. (16X12 cm.)

Mk. 4.70.

171°. (X,2b.) Modell zu Staude's

FadenconstructlM des EIMpsold* aus 2 con-

focalen Flächen zweiten Grades. Wenn ein
geschlossener unausdehnbarer Faden, der
um zweiineinandergefügteconfocale Fliehen,
ein Ellipaoid und ein einschaligea Hyper-
boloid, herumge schlangen ist, durch einen
beweglichen Punkt derart gespannt wird,
dasB er beständig jeden der beiden durch
das Ellipsoid getrennten Teile des Hyper-
boloids berfihrt (sei es in einem Punkt oder
längs eines ganzen Cnrveniugs), so bcBchreibt
der pTinkt ein den gegebenen Fliehen con-
focales Ellipnoid, Der rote Faden legt aich
an beide Teile des Hyperboloids Iftngs eines
Teiles der Schnittcui've an (erster Fall), der
andere, gelbe, nur an den einen Teil, berQhrt
dagegen den andern nnr in einem Punkt
(zweiter Fall). (20x9 cm.)

172°. (X,2a) Modell (aus Draht) zu
Staude's Fadenoonstnictlon des Elllpeolds
aus den 2 Focaicurven des zum Ellipsoid
gehörigen confocalen Fliehen Systems. (Spe-
cieller Fall der vorigen Erze utrungs weise).
Der Apparat gestattet nur das obere vordere
Viertel des Ellipsoids zu constmieren ; dabei
muss sich der Faden von unten an die
Ellipse, von hinten an die Hyperbel anleiren.
Die Linge des Fadens ist gleich der grössten
Axe des Ellipsoids, vermehrt um die
Differenz der ExcentricitBt der Ellipse und
Hyperbel. (20x10 cm.)

Beide Modelle sind »on Dr. O. S/aiir/e
constmiert. (Vergl. dessen Ahhandinng in
den Math. Annal. Bd. 20, pag. 147.) Er-
linterangen des Verfassers sind beigegeben.
Mk. 12,—.

173. (XVU, 13.) Flacbe, auf welcbe das
Ellipsoid durob parallele Nonnalen confom
abgebildet wird. Von Dr. JC. mnbcck in
Einbeck (S).

Die Fliehe wird durch ihre KrDfflmungs-
llnlen in unendlich kleine Quadrate geteilt.
Mit Hülfe des Modells Usst sich eine Vor-
stellung gewinnen von der Gestalt defgenigen
Fliehen, auf welche die Qbrigen Fliehen
zweiten Grades dnrch parallele Normalen
conform abgebildet werden , Mk. 12.—.

VII. Infinitesimalgeometrie der Flächen.

105

174^ (X, IIa.) Bohnenf5rmlger KSrper

mit Symmetrieebenen zur Anstellnng von
Proben bezüglich des Verlaufes der KrQm-
mungsllnien, Asymptoten- und parabolischen
Curven auf einer Fl&che. (14x8 cm.)

1750. (Xj 11 b.) Dasselbe anderer Gestalt
(tordierte Bohne). (10x6 cm.)

Zusammen Mk. 1.50

Hierher gehörenfernerdie Abt.fll, a
unter Nr. 79 flp. aufgeführten C y c 1 i d e n, deren
Krümmungslinien bekannt sind, die Röhren-
schraubenflache Nr. 124 (VIII, 5), die
windschiefe Schraubenfläche Nr. 223
(VIII, 6c.), die Flächen von constantem
p o si tiv e nK r ü mmu n gs m ass nach -£'««<'^<'r
Nr. 206, 207 (XVII, 3) und die B ian chi' soh e
Fläche Nr. 212 (VHl, 1).

c) Asymptoteneurren und
parabolische Cnrren.

176—187. (X, 10 a— m.) Modelle von ver-
schiedenen Rotationsflächen mit aufgezeich-
neten Asymptotencurven. Man gelangt zu
denselben durch die Frage nach solchen
Kotationsfiächen, deren Asymptotencurven
zur Projection auf eine Ebene senkrecht zur
Axe gegebene Ourvensysteme (logarithmische
Linien, Kreise etc.) besitzen; a. bis 1. von
Herting^ in München berechnet und model-
liert. (B).

Zusammen Mk. 80.—.

1760. (X,10a.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Umdrehung der Parabel um

ihre Scheiteltangente. Gleichung der Fläche

«2 — r (r — V^alfj^),

der Projection der Asymptotencurven in
Polarcoordinaten <jp = V.Mogr. (19x1 3 cm.)

1770. (X,10b.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Umdrehung der cublschen
Parabel um ihre Wendetangente. Gleichung
der Fläche z^^=^2*jr, der Projection der
Asymptotencurven in Polarcoordinaten
ff = V '^- log r. (14x14 cm.)

1780. (X,10f.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Umdrehung der Neirschen
Parabel um ihre Rückkehrtangente.
Gleichung der Fläche a8=r25ra, der Pro-
jection der Asymptotencur^'en in Polar-
coordinaten 9 =r V * log r. (14x17 cm.)

1790. (X,10d.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Umdrehung der gleichseitigen
Hyperbel um eine ihrer Asymptoten.
Gleichung der Fläche « . r = 6, der Pro-
jection der Asymptotencurven in Polar-
coordinaten 9 = V 2 log r. (15 X 16 cm.)

1800. (X, 10 c.) Rotationsfläche, deren
Gleichung ist «r3 = 8. Gleichung der Asym-
ptotencurven y^zrVßlogr. (15x16 cm.)

1810. (X, 10 e.) Rotationsfläche , ent-
standen durch Umdrehung der iogarith-
mischen Spirale um ihre Asymptote.
Gleichung der Fläche ^ = 6 log r, der Pro-
jection der Asymptotencurven 9 = log r.
(16x11 cm.)

1820. (X,10k.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Drehung der Parabel um eine
Parallele zur Axe. Gleichung der Fläche
3 = a (r — a)2, der Projection der Asymptoten-

cos -? =V -» (Cardioide). (16xl6cm.)
2 » a

1830. (X,10g.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Umdrehung der Parabel um

eine Parallele zur Scheiteltangente. Gleichung
der Fläche z^ = a^ (r — a), der Projection
der Asymptotencurven

V^r log 2(r-fV7(r— a)) — g

carve

(18x15 cm.)

1840. (X,10h.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Umdrehung der cublschen
Parabel um eine Parallele zur Wendetan-
gente. Gleichung der Fläche z^=za^{r — a),
der Projection der Asymptotencurven:

(18x19 cm.)

1850. (X,lOi.) Rotationsfläche, ent-
standen durch Umdrehung der Neil'schen

106

VII, InfinitNimalgeometrie der Fliehen.

Parabal um eine Parallele lor Rockkehr-
kaote. Gleichnng derFiBclie ^^i* (r— a)>,
der Frojectioii der As^mptotencarreD

(13X17 cm.)

1S60. (X,101.) ReUtleufllche, deren
Oleichnng iat

Die Frcrjectioti der AsymptoteDcnrreD ergabt
eiD System von Kreisen, die daroh denselben
Punkt gehen. {14x20 om.)

187». (X,10m.) RotatlDüBfläohe, ent-
atudea dirob Umdrehung der Sinusllnle
; = cos r. Das Modell erl&atert d a s V e r -
halten der Asymp to tBncnr*en in
der Nfthe der - parabolischen Cnrve. Im
Allgemeinen setzen die Asirmptoten-
cnrven aof die parabolisclie Curve mit
Spitsen auf, nnd nar wenn letztere die £e-
rührangscarva einer Doppeltangentialebene
ist, wird sie von den Asymptotencnrven.
berahrt Das in dem Ausdmtk für den
Bogen anflretende Integral wurde mit Hilfe
der Ganss'schen Naherongsmethode ansge-
wertet. Die anfgeieiclmeten Kreise bilden
die parabolische Cnrre. Berechnet nnd con-
stmiert von stnd. math. Sievert in Manchen-
(B). (21X5 cm.)

188— l»l.CXTII,7».b.c.d.) Versohledene
Typen oonitoder Knotenpunkte mit Angabe
des Verlanfes der parabolischen Curve nnd
der Asymptoten cnirven in derUmgebnng dieser
Punkte. AnagetDhrt nnter LeitoDg von Prol
Dr. Dyok nnd Prot. Dr. Finsterwalder von
Professor A. Suckarda in Prag.

Berücksichtigt man in der Taylor'schen
Entwicklung der Flachen gl eichang im
Knotenpnnkt f (jr,^, z) = «s + »» + ... . = o
die Glieder 2. nnd 3. Ordnung, so hat man
bekanntlich nach der Realitftt der 6 Schnitt-
geraden der Eegel u^^^o nnd «a ^ o vier
Hauptftlle zu unterscheiden : 6, 4, 2, dieser
Schnitt^raden reell. Zur Darstellung dieser
Fftlle sind specielle, jedoch hinreichend all-
gemeine Beispiele ansgewfthlt. Des Näheren
vergl, die Abhandlung von Sncharda, Über
die asymptotischen Cnrven gewisser Flftchen
dritter Ordnung mit gewöhnlichem Knoten-
punkt, Monatshefte för Math, und Physik,
Vill. Jahrgang. (Höhe ca. 20 cm.)

Znsammen Mk. 75. — .

192. (II, 2.) Fläche 3. Ord. vierter Qaase
mit 4 reellen coniacheu Knoten, uf welohe
eine Aaymptotencurve (gelb) 'auf|eze1chnet
ist; sie entspricht dnalistiach einer Asym-
ptotencnrve derSteiner'schen Fl&che (4. Ord.,
dritter Classe) nnd ist nach Clebsch (Crelle
Bd. 67, S. 9) eine Kaumcorve 6. Ord., vierter
Classe, die in jedem Knotenpnnkt der Fl&che
einenKflckkehrpunkt besitzt. '^anSackarach
in M&nchen (B). Erl&ntemng beigegeben.
(13x22 cm.) Mit. 14.—.

NB. Asymptote ncnrven finden sich anoh
aufder Komischan Fl&che Ton Steiner
Nr. 94 (IX, 3); auf den Rotationsfikchen
von konstantem negativen Krtlm-
mungsmaia Nr. 208 (U,4) und 210 a> l)i
auf der windschiefen Schrauben-
riftche Nr. 223 (TIU.Ga) und anf der
Miniraalflache Nr. 224 (Vm,2.)

VII. Infiniieiimalgeometrie der Flftchen.

107

d) OeodBtlselie Linien anf FlBehen
8. Ordnung.

193. (1, 4.) Geoditlsche Linien auf dem
veriSngerten Rotationsellipsoid. Das Pro-
blem f&hrt auf elliptische Fanctionen. Es
sind 3 Linien (rot, blaa, violett) angezeich-
net. Gonstmiert nnd mit Erklftmnig ver-
sehen von stnd. math. Rohn in München
(B). (12x18 cm.) Mk. 6.—.

194. (1, 5.) GeoditlsGlie Linien duroii die
Nabelpankte (siehe Bemerkung zn Nr. 158)
eines dreiaxlgen Ellipsoids. Das Problem
fahrt anf elliptische Fanctionen. Eine geo-
dätische Linie darch den einen Nabelpunkt
geht stets aach dnrch den ihm gegenüber
liegenden and nähert sich nach einer Richtung
asymptotisch demjenigen Hauptschnitt, der
durch die beiden Nabelpunkte geht. (Vgl.
Salmon-Fiedler, Raumgeometrie II. Teil,
2. Aufl., pag. 167 fl. Berechnet und con-
struiert von stud. math. Rohn (B). Erläute-
rung beigegeben. (10x18 cm.) Mk. 6.—.

195. (V,7a.) Verlängertes Rotations-
ellipsoid mit geodätiselien Linien und Enve-
loppen von Systemen solciier, welche von einem
Punict ausgeiien. Diejenigen geodätischen
Linien, welche die symmetrisch gestaltete
der 2 roten, vierspitzigen Gurven umhflUen,
kommen von einem Punkte A des Äquators,
diejenigen, welche die andere rote Curve
berühren, von einem auf einem Parallelkreis
gelegenen Punkte A^, Zwei der 4 Spitzen
der zu ^j gehörigen Enveloppe liegen
selbstverständlich in dem durch A^ gehenden
Meridian, die zwei andern auf dem zum
Parallelkreis durch A^ symmetrisch gelegenen
Parallelkreis und zugleich auf der geodä-
tischen Linie, welche in ^^ den Parallelkreis
durch ^1 berührt. (VergLNr. 197.) (12x8cm.)

Mk. 6.60.

i960. (X, 12 c.) Dasselbe In grösserem
Massstabe. Die von einem Punkt A aus-
gehenden geodätischen Linien bilden eine
Enveloppe, die von einem in A befestigten
Faden umhüllt wird. (18x12 cm.)

1970. (V,7b.) Sphftrold (abgeplattetes
Rotationsellipsoid) mit geoditlsehen Unten
und Enveloppen von Systemen solcher, welche
von einem Punkt ausgehen. Die Bedeutung
und Gestalt der Ourven wie in Nr. 195.
(17x10 cm.) Mk. 6.50.

1980. (X, 12 b.) Dasselbe, grösserer
Massstab. Durch einen im Punkte A be-
festigten Faden kann man die Erzeugung«
der Enveloppen demonstrieren. (18x13 cm.)

1990. (X, 12 a.) Dreiaxiges Elilpsold nebst
Andeutung der Enveloppe von geoditlsehen
Linien, welche von einem Punkt ausgehen.
Durch den Ausgangspunkt der geodätischen
Linien gehen 2 Erümmungslinien ; die 4
Spitzen der Enveloppe (auch hier ist sie
ein vierspitziger Gurvenzug) liegen zu je
zweien auf denjenigen Krümmungslinien,
welche zu den durch den Ausgangspunkt
gehenden beiden symmetrisch liegen. Vgl.
Dr. A. V. Braunmühl's AbhandL in den
Math. Annalen, Bd. 20, pag. 557 flf. (19x11 cm.)
Nr. 196, 198 u. 199 zus. Mk. 14.-.

Die Modelle Nr. 195—199 wurden von
•Dr. A. von Braunmükl in München (B) con-
struiert. Vergl. dessen Abhandlung in den
Math. Annalen Bd. 14, pag. 553 ff. u. Bd 20.
Erläuterung beigegeben.

Geodätische Linien finden sich
auch auf den Flächen von constantem
Krümmungsmass Nr. 200, 201, 208—210 und
von conitanter mittlerer Krümmung Nr.
217— 22L

e) FlBehen Ton constantem

Erflmmnngsmass nnd aufeinander

abwickelbare FlBcben.

Für die Flächen von constantem Krüm-
mungsmass ist das Product der beiden
Hauptkrömmungsradien, dessen reciproker
Wert nach Gauss gleich dem Krümmungs-
mass der Fläche in dem betrachteten Punkt
ist, an jeder Stelle dasselbe. Nach dem

108

yiL Infinitesimalgeometrie der Fliehen.

Vorzeichen dieses Prodactes nntencheidet
man Flächen von constanter positiver
oder negativer Krfimmnng oder von
der Erfimmnng Null. Alle Flächen
von gleichem constanten Krfimmangsmass
sind ohne Dehnnng and SchmmpfnDg auf
einander anfbiegbar nnd in sich selbst ver-
schiebbar, wie z. B. die Ebene oder die
Engel. Man kann anf solchen Flächen daher
von Congrnenz der Figuren reden,
weil man getrennt gelegene Flächenstücke
durch Verschiebung in der Fläche selbst
zur Deckung bringen und mit einander ver-
gleichen kann. Die notwendige Bedingung
zum Aufbau einer Geometrie, im Euklidischen
Sinn, ist damit für diese Flächen gegeben;
an die Stelle der „Geraden" tritt hier nur
die kfirzeste d. h. die „geodätische Linie".
Die Geometrie auf den Flächen von con-
stanter positiver Krümmung ist die gewöhn-
liche sphärische Geometrie; die auf
den Flächen von constanter negativer
Krümmung wird Nicht-Euklidische
Geometrie genannt und deckt sich mit
der durch Lobatschewsky begründeten, welche
des elften Axioms von Euklid entbehrt.
Der Unterschied zwischen dieser und der
sphärischen hat ein verschiedenes Verhalten
der unbegrenzt verlängerten geodätischen
Linien zur Folge. (Vergl. die diesbezüglichen
Anmerkungen zu den Modellen beider
Flächengattungen).

Die nachfolgenden Flächenmodelle sind
bestimmt, dem Studium dieser Geometrie
zu dienen. Zu diesem Zweck sind einzelnen
Nummern verbiegbare Messingbleche
von dem Krümmungsmass der Flächen bei-
gegeben, welche jeder beliebigen Stelle einer
Fläche von dem gleichen Krümmungsmass.
wie es der Streifen besitzt, sich anschmiegen.

Die partielle Differantialgleichung, durch
welche diese Flächen definiert sind, wird
unter Voraussetzung einer Rotations-
fläche zu einer gewöhnlichen integrierbaren
und liefert för die Meridiancurve der Fläche
die Gleichung

dr;

wobei +/' der reciproke Wert des Krum-
mung^masses der Fläche ist.

Sowohl für die Flächen positiver wie for
die negativer Krümmung erhält man 2 ver-
schiedene Typen, zwischen denen ein Über-
gangsfall mit einfacheren Eigenschaften lieg^
(Kugel und Tractrixfläche).

200—202. (V, 2.) Roiatitiiafiaclieii von
constairtem positiven Krammangomaso mit

geodätischen Linien. Drei Typen mit gleichem

Krümmungsmass = -r~öö^ P^ Centimeter-

mass). Da diese Flächen auf eine Kugel
abwickelbar sind und geodätische Linien bei
der Abwickelung erhalten bleiben, so trefiFen
sich alle von einem Funkt ausgehenden geo-
dätischen Linien wieder in einem Punkt
Nach Zeichnungen von E. Bour, Journal
de TEcole Polytechnique, Tome 22 modelliert
und mit geodätischen Linien versehen von
Assistenten Dr. P. Vogel (B).

200. (V, 2 b.) Spindeltypus ; die Meridian-
curve trifil die Axe. (11x7 cm.) Mk. 4. — .

201. (V,2c.) Wulstiypus; die Meridian-
curve der Fläche trifft die Axe nicht.
(10x12 cm.) Mk. 9.—.

202. (V, 2 a.) Kugel ; Zwischenfall, Radius
4,33 cm Mk. 1.—.

Die Flächen von constanter Krümmung
sind, als dünne Haut gedacht, wie bereits
erwähnt, in sich selbst verschiebbar und auf
einander abwickelbar. Man kann dies durch
die folgenden biegsamen, auf diese Flächen
aufgepassten Streifen von Messingblech er-
proben.

203^. (X,6a.) Fläclienstrelfen von con-
stanter positiver KrOmmung aus Messlngbiecli.
Kugelzone, einem Centriwinkel von fast 90^
entsprechend.

2040. (X,6b.) Holiie HalbiiHgei aus
RVessingbiecli. Beide zusammen Mk. 4.50.

205. (V,3.) Scliraubenfläclie von con-
stantem positiven KrOmmungsmass, auf die

Vll, lofiniteEriinalgeometrie der Flftchen.

lOB

vorhergehe D den 3 FUohen abwickelbar, in-
dem das ErümmongBinaM mit dem der vor-
hergehCDdea Flächen übereiösümmt. Die
Gleichnog der Meridiancnrve führt auf
elliptische Functionen. Qanghölie der
Sohranbe 10,9 cm. Schneidet man aua der
vorherigen Engel eine von 2 gleich grossen
ParaUelkreisen begrenzte Zone (einem Centri-
winkel von 90" entsprechend) heraus, so
geht dieae dorch gegenseitige VerBchiebnEg
der Endschnitte in diese Schrauben ilächc
Ober, wie sich dies mit Hülfe der Eugel-
Eone anB Messingblech zeigen l&ast.
(24x16 cm.) Hk. 13.~.

Von stud. math. Auc-n in München (B),
Ertenternng hierzu nnd auch zu den vor-
hergehenden Rotation eflächen beigegeben.

206. 207. (XVII, 3.) Zwei Flächen von
ooistantem positiven KrDmmunBBmaaa mit
einem System ebener Krünmungsllnlen, Die
eine (Nr. 206) repisentiert den allgemeinen,
von Enneper snerst (Oöttinger Nachrichten
1868) nntersachten Fall, daas die Coordinatea
der Fliehe elhptische Functionen von 2
Parametern sind ; die andere (Nr,20T) den von
Knen (Bajr. Acad. Sitzungsber. 1884) nach-
gewiesenen besonderen, wo Kreisfun et ionen
für die Coordinatendarstellnng ausreichen.
Letzterer entspricht dem Typus der Bianchi-
achen Fl&che (Nr. 136) für Flächen von
negativem Krümmangsmass.

Die Fl&chen sind beide anf die Kugel
Nr. 128 abwickelbar. (16x16x8 u. 16x
15x14 cm.) . . . Zusammen Mk. 18.—.

Die Flächen von constantem negativen
ErQmmungsmaBs nnterscheiden sich wesent-
lich durch die Eigenschaften ihrer geodä-
tischen Linien von denen positiver Erümmnug.
Die von einem Fnnkt ausgehenden Linien
treffen sich überhaupt nicht mehr. Durch
einen Punkt der Flache gehen unendlich
viele Linien, die eine gegebene geodätische
Linie schneiden, zwei (nach jeder Seite
eine) zu ihr parallele (sie im Unendlichen
treffende) und unendlich viele sie nicht
■cbneidende. Unter einem geodUisoben

Kreis versteht man diejenige Corve, die der
Endpunkt eines am anderen Endpunkt«
befestigten anf der Flache aufliegenden
angespannten Fadens beschreibt. — Um
Vieldeutigkeit zu vermeiden, hat man sich
eine Rotationsfläche als unendlich dünne,
über das Modell der Botationafläcbe unend-
lich oft gewickelte Haut zu denken (aU
Schraubenfläche von der Ganghöhe Null).
208. (ir,4.) Rotationsfläche von constu-
(em negativen Krümmungsmass (Kegeltypus),
nebst geodätischen Linien (blau) und einer
Ä syraplotencurve. Von stud. matli. Bacharach
in München (B). Erläuterung beigegeben,
(17X17 cm.) Mk. 9.—.

20£>. (11,5.) Ebenso (Hyperboloidfypus.)

Es ist ein System paralleler geodftvischer
Linien aufgezo lehnet (grün), worunter sich
2 (rot) befinden, die sieh dem Eeblkreis
asymptotisch n&hern. Die geschlossenen
Curveu sind geodätische Kreise. Von stud.
math. W. Dyck in München. Erlänterang
beigegeben. (13x21 om.) . . Mk, 12,—.

210. (1, 1.) Kotatlonsfläcbe der Traolrix,
dnroh Umdrehung um ihre Asymptote ent-

110

Vll Inäniteiiimldgeomeirie der nAch^fi.

standen. Die Tractriz ist darch die Eigen-
schaft definiert, dass alle Tangenten zwischen
dem Berährpnnkt nnd einer Geraden, der
Asymptote, constante L&nge besitzen. Diese
Flftche bildet den Übergang zwischen den
beiden vorgenannten Flächen und entspricht
der Engel bei den Flftchen constanter
positiver Krümmung. Die blan gezeichneten
Corven auf ihr sind verschiedene geodä-
tische Linien, die rote ist eine' Asym-
ptotencnrve, deren Torsion bekanntlich gleich
der Wnrzel aus dem negativen Erfimmnngs-
mass der Flftche an der betreffenden Stelle,
also fär diese Cnrve allenthalben dieselbe
ist. Von stud. math. Bacharach in München
(B). Erläuterung beigegeben. (25x18 cm.)

Mk. 9.—.

211. (V,4.) Schraiibenfläche von oon-
staatem negativen KrOnmungsmass, deren
Meridianourve die Tractrix ist. Sie ist die
einzige Schraubenfläche von der erwähnten
Art, in deren Gleichung nicht elliptische
Functionen eintreten. (Bei Flächen con-
stanter positiver Krümmung gibt es keine
von dieser Eigenschaft). Vergl. U. Dini,
Comptes Hendus, Aoad. Sc. Paris 1865,
I. Sem. pag. 340; Th. £uen, Berichte der
kgl. bayr. Acad. 1884. Von Dr. P, Vogel in
München (B). Erläuterung beigegeben.
(24X16 cm.) Mk. 15.50.

212. (VIU, 1 ) Fläche von conatantem
negativen Krummungsmass mit ebenen Krfln-
Diungallnlen nach Enneper. Sie entsteht aus

der Tractrixfläche von der Krümmung — -,

dadurch, dass man auf den Tangenten an
ein System von parallelen geodätischen
Linien das Stück t in bestimmtem Sinn
aufträgt. Die Fläche besitzt eine Ebene und
eine räumliche Rfickkehrkante mit 2 Spitzen
sowie eine Doppelcurve. Das eine System
von Krümmungslinien wird von Ebenen aus-
geschnitten, welche durch eine (im Modell
vertikal gestellte) Gerade hindurch gehen.
Das andere System liegt auf Kugeln, deren
Mittelpunkte in dieser Geraden liegen.
Vergl. Bianchi, Math. Annalen Bd. 16, so-
wie Enneper, Göttinger Nachrichten 1868 ;
T h. K u e n , Sitzungsberichte der kgL bayr.
Acad. 1884, Heft IL Modelliert von stud.
math. Mack. Erläuterung hierzu von
Assistenten Th, Kuen in München (B).
(24x18 cm.) Mk. 16.—.

Die Flächen Nr. 209,211, 212 besitzen
das nämliche Krummungsmass. Um
ihre Abwickelbarkeit auf einander und be-
sonders ihre Verschieblichkeit in sich selbst
und die merkwürdigen Beziehungen der
Nicht-Euklidischen zur Geometrie des Lobat-
schewsky zu zeigen, hat man auf dieselben
2Flächen8treifen (Nr.213) aus dünnemMessing-
blech aufgepasst Schneidet man von einem
ein dreieckiges Stück ab, dessen Seiten geo-
dätische Linien (z. B. der Fläche Nr. 209)
sind, so lehrt bereits der Augenschein, dass
die Summe der Winkel in einem solchen
Dreieck kleiner als 2i? ist.

213. (X,14.) Zwei Fliohenstreifen von
oonstantem negativem KrümmungsmaM ans

biegsamem Meesingblech, vom Krümmnogf

Vtl. InfinitesiiKialgeometrie der Fl&cheti*

111

mass der Flftchen 209,211, 212. (Siehe die
vorstehende Bemerkung) (£). . Mk. 4: — .

214. (VIU, 7 a.) Schranbenfläche, auf das
Rotationsellipsoid Nr. 215 abwickelbar (nach
fi. Bour, Journal de l'Ecole Polyt., Bd.
XXII). Von Assistenten Dr. P. Vogel (B).
(12x26cm.) Mk. 10.50.

215. (Vm,7c.) Rotationsellipsoid, auf

die vorige Fläche abwickelbar (B). (3x9 cm.)

Mk. 1.50.

216. (Vni,7b.) Rotationsellipsoid aus
biegsamem Messingblech zur Demonstration
der erwähnten Abwickelung. Die durch 2
gleich grosse Parallelkreise begrenzte Zone
obigen Ellipsoids geht durch einen leichten
Druck in die vorhin erw&hnte Schrauben-
fl&che über (ß) Mk. 2.60.

In diesen Abschnitt gehört noch die in
der folgenden Abteilung aufgezählte wind-
schiefe Schraubenfläche Nr. 223,
welche auf das C a t e n o i d abwickelbar ist
und der zugehörige Messingstreifen
Nr. 222.

f ) Fl&ehenTon eonstanter mittlerer
Erflmmuiig, MinimalflSehen.

Die Flächen von constanter mittlerer
Krümmung sind dadurch definiert, dass die
Summe der reciproken Werte ihrer 2 Haupt-
krümmungsradien an jeder Stelle denselben
Zahlenwert besitzt. Die partielle Differential-
gleichung, durch welche sie definiert sind,
geht in eine integrierbare totale über, wenn
man sich auf Rotationsflächen be-
schränkt, und zwar erhält man für die
Meridiancurve die Gleichung

r^ + a^ (22

är.

r2) (r2 _ a^2)

Nach Delaunay (Comptes rendus XIU,
1841) ergibt sich die Meridiancurve dieser
Flächen auch als diejenige Curve, die der
Brennpunkt eines Kegelschnittes beim Ab-
rollen auf einer Geraden beschreibt, welche
dann Botationsaze wird. Den 3 Kegel-

schnitten Ellipse, Hyperbel, Parabel ent-
sprechend, erhält man 3 verschiedene Typen,
die von Plateau in seinem Werke „Statique
ezp^rimentale et th^orique des liquides etc."
Onduloid, Nodoid, Catenoid genannt wurden.
Nach Laplace werden die Gleichgewichts-
figuren von Flüssigkeiten, welche der Ein-
wirkung der Schwere entzogen sind, von
Flächen constanter mittlerer Krümmung
begrenzt. Geometrisch lassen sie sich auch
als gewisse Parallelflächen zu Flächen von
constantem positiven Krümmungsmass de-
finieren. Einen speciellen Fall davon bilden
die Minimalflächen, deren mittlere
Krümmung Null ist Dieselben haben die
Eigenschaft, einen kleineren Flächeninhalt
zu besitzen als jede andere benachbarte
Fläche, die durch eine beliebige auf ihr
geführte geschlossene Randcurve hindurch
gelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch
als diejenigen Flächen, welche die zwischen
eine gegebene Randcurve sich einspannende
Flüssigkeitshaut (z. B. durch Eintauchen
eines Drahtes von der Form der Curve in
Seifenlösung annimmt.

Die Minimalflächen werden sowohl durch
ihre Krümmungs- wie durch ihre Asymptoten-
curven in unendlich kleine Quadrate geteilt.
(Die Indicatrix ist für diese Flächen eine
gleichseitige Hyperbel, deshalb stehen auch
die Asymptotencurven aufeinan der senkrecht).
Zu jeder Minimalfläche gibt es eine zweite,
ihre sog. Bonnet'sche Biegungs-
fläche, welche auf sie derart abwickelbar
ist, dass die Krümmungslinien der einen in
die Asymptotencurven der andern übergehen.
Vergl. Schwarz in Crelle's Joum. Bd. 80.

217—220. (II, 3.) Drei Typen von Ro-
tationsflächen constanter nittlerer Krümmung
mit geodätischen Linien. Das Verhalten
der letzteren ist je nach dem Winkel, unter
dem eine den grössten Parallelkreis trifit,
ein verschiedenes. Entweder bewegt sie
sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau) oder
sie nähert sich asymptotisch dem Kehlkreis,
d. i. Parallelkreis von kleinstem Badius (grün),
oder sie läuft über die ganse Fläche hin.

113

VII. Infinitesimalgeometrie der Flftchen.

Von stud. math. A. v. Braunmühl in München
(B). Erlänternng beigegeben.

217. (II, 3 a.) Onduloid. Die Meridian-
curve ergibt sich für «1 = 1 cm., a^ = 5,77 cm.
aus der oben angegebenen Gleichung, wenn
von den 2 daselbst vorkommenden Vor-
zeichen das obere (positive) gewählt wird.
(12x26 cm.) Mk. 9.—.

218. (U, 3b.) Nodoid. a, und «a wie oben,
aber in der Gleichung ist das untere (nega-
tive) Vorzeichen zu wählen. (11x8 cm.)

Mk. 8.—.

219. (II, 3 c.) Ring des Nodolds, durch
Umdrehung der Schleife der Meridian cun^e
von b. entstanden. (9x3 cm.) Mk. 2.—.

220. (II, 3d.) Catenold, durch Umdrehung
der Kettenlinie um ihre Axe entstanden.
Ausser den 3 verschiedenen Typen von
geodätischen Linien ist hier auch noch
eine Asymptotencurve (gelb) aufgezeichnet.
Diese Fläche ist eine Minimalfläche, sie
besitzt die constante mittlere Erämmung
Null. (16x10 cm.) . . . . Mk. 8.—.

221. (VIII, 6 c.) Catenoid, grösser, mit
aufgezeichneten Krümmungslinien (weiss)
und Asymptotencurven (rot). Diese Fläche
ist die Bonnet^sche Biegungsfläche zur folgen-
den windschiefen Schraubenfläche (Nr. 222,
223). Beim Aufbiegen beider aufeinander
geht der Kehlkreis in die Axe der letzteren
über, die Meridiane in die geraden Er-
zeugenden, Parallelkreise in die Schrauben-
ÜDien (B). (20x14 om.) . . Mk. 10.60.

222. (VIII, 6 b.) Catenoid aus biegsamem
Messingblech. Die Umdrehungsfläche
der Kettenlinie wird in die wind-
schiefe Schrauben fläche dadurch
übergeführt, dass man an dem Messing-

blech die Endpunkte des Kehlkreises fasst
und diesen in eine Gerade auszieht, indem
man gleichzeitig ein wenig dreht. Der Ver-
such ist überraschend. In der ersten
Gestalt passt das Blech auf das Catenoid
Nr. 221, in der zweiten auf die Sclirauben-
fläche Nr. 223. Von Herting in München (B).

Mk. 2.—.

223. (VIII, 6 a.) Windschiefe Scbrauben-
fläche, Minimalfläche, nebst Krümmungs-
linien und Asymptotencurven ; auf das
Catenoid Nr. 221 abwickelbar. Von Herting
in Mfinchen (B). (23x22 cm.) Mk. 17.—.

VlI. InäDiterimalgeomstrie der Plletea.

224. (VIU, 2.) MlnlnalflSohe 9. Ord. nach
Enneper (Tei^L GöttiDger Nachrichten 1871,
pftg. 27 fF,). Sie besitzt 2 ebene Doppel-
cnrveD 3. Ord., in welchen die anfgexeich-
neten beiden Scharen von ErflmmniigaliDien
(ebenfalle ebene Cnrven 3. Ord. ; die Ebenen
derselben aind alle einer Geraden parallel)
einen Doppelpunkt besitzen. Die Flftche
hat ferner 3 dreifache Geraden, nftinlich die
nnendlich ferne Gerade in der Horizontal'
ebene nnd die in einer solchen Ebene
liegenden 2 roten Geraden. Von den 3
dnrch diese letztere gehenden M&nteln sind
aber 2 imagin&r. Die Fläche lässt sich da-
durch mit sich selbst znr Deckung bringen,
dssB man die eine Doppelcnrre in die andere
verlegt. Ihre Bonnet' 9 che Biegungafläche
ist sie selbst, d. h. die Fl&che kann auf sich
selbst aufgebogen werden. Dabei gehen die
Krüntmnngslinien (weiss) in die Asjmptoten-
curvea (rot) Ober. Von Herting in München
(B). Brl&aterung beigegeben. (26x34 cm.)
Mk. 21.—.

22&.(XTU,4.)Citaian'tGiielllninalflBChe.
Diese Fläche gehört bekanntlich tn den
Minimalflächeo, welche eine Schar reeller
Corren zweiten Grades enthalten, und zwar
sind es bei der Catal an' sehen FbLche
Parabeln. Die Ebenen der Parabeb sind
senkrecht zn einer festen Ebene, welche
eine Symmetrieebene der Fl&ohe ist In
dieser liegt eine von einer gewöhDliohen
Cycloide gebildete geedfttiache Linie der
Fläche. Die Parabeln nnd deren orthogonale
Trajectorien veranschaulichen die Eigenschaft
der Fläche, dais sie dnreh die beiden Oorven-
scharen in anendlich kleine Quadrate geteilt
werden kann. Modelliert von stnd. math.
Laine in Helsingfors nnter Leitung von Prof.
Neoviui. (Grösse des GipskOrpers ohne Holz-
platte 22x22x14 cm.) . . . Mk. 40.—.

226. (XVJI, 1.) HIntnalfläohe, welohe eine
Sohar reeller Parabela enthält, deren Ebenen
mit einer festen Ebene des Ranei einen
oonitanten Winkel elnaohiieaaen.

Die Fläche entsteht dnrch „geometrische
Addition" der gewöhnlichen Sobra&benflävhe

und der Catalan'achen Miniraalfläche, d, h.
in der WeierBtrase 'sehen Darstellung der
Coordinaten setzt sieh die Funktion F (j)
(Monatsberichte der Berliner Acad. 1886,
pag. 618) aas den beiden, die jene liefern,
zusammen

WO '=: V — 1 i a, b Contante sind, — Ansser
den Parabeln aind noch deren Orthogonaltra-
jeotorien angegeben, welohe mit jenen die
Fläche in nnendlich kleine Quadrate teilen,
sowie die Scheitelcurve der Parabeln. Jener
oonstante Winkel ist für das Modell 40".

Modelliert von atud. math. Tailgvist in
Helsingfors nnter Leitung von Prot Neovius.
(Grosse des GipskOrpen ohne Eolcplatte
21X25 om.) Mk. 40.—.

227. (X, 1 a— k.) Drahtsestelle zur Dar-
stellung voa MinImalflScheD durch Lantiiea
VON Selfenwasier nebst einer Anweisung zur
Herstellung der SeifenlOsnag nach Angabe
von Platean, Statique des liquides (B).
Näherei siebe Teil I, Serie X. Mk. 12.—.

VIII. Hodolle inr äiratelleDden Geometrie.

VIII. Modelle zur darstellenden Geometria

a) Hllfemittel für das

geometiisclie Zeiehnen, projectlre

Etsen^ng der Kegelschnitte,

B«llefpenpeetlTe.

AbblUiug TOD Mt. M*. (ZZVI, *.}

Mr. tat. (XXTI,&.}

Abbildung nm St. U7. (XXVI, ID.)

228-2S7. CXXVI, 1-10.) Archltek-
toniiohB Palyeder von Prof. Dr. Gu/do Hauck.

Die Modelle, enUtaDden dnrch Znrück-
führnng ftrchitektonucher Motive auf ihre
polyedriscbe Orandfonn, sind von eioer
gewiesen RegelmlMigkeit im Äofban, leigen
Kber im Oegenrati in deo elementAren
itenometiücheo EOrpeni rielluh ein-

VirL Modelle eut cttrstellenden Qvometri«.

Bpringeode Fl&chen winke], Sie dieneo eu
Dbangen im Anfnehmen von Körpern in
Grnnd- nnd Änfrisa und S chatten con atme-
licnien, sur Darätellntig in axonome (riechen
Projectionen, mal erisc her Perspective u s.w.
Näheres siehe TeU I, S. 62. (Hahe der Mo-
deUe 22-26 om.)

Einselprcis Mk. 13.-
GftnEe Serie Mk. 120.-

Ziim Scliutze dieser Modelle sind noc
passende Glasglocken mit Holzuntersätzen
hergestellt, s. S. 61.

Einzelpreis Mk. 2.75 — 8.50.

Preis der Glocken und Untersätze für die
eanze Serie Mk. 48.—.

238-21(5. tXXVl, JI-18.) Hilhmlttfll
fiir den Unterricht In darBtellender und pro-
Jectlver Geometrie von Prof. Dr. Fr. SrhfiUng.
Wegen ihrer Einrichtung im Einzelnen nnd
Verwendung beim Unterricht vgl, die Be-
Bchreibung dei' Serie im I.Teil, Seite 63 b. IT.

der ersten nnd der zweiten Tafel des Grnnd-
vind Äufrias verfahre na entsprechend leicht
im rechton Winkel gegeneinander eingestellt
werden können. Der Tafel selbst werden
noch iwei kleinere Hdfstafeln beigegeben,
von denen die eine die Selten rissebene, die
andere eine allgemein gelegene Ebene dar-
stellt Endlich gehören zu der ganzen Vor-
richtung noch acht ätahlsl&he und zehn
Korkkageln zm- Daratellong von Punkten
und Geraden. (llOx'Jü cm,) Mk. 71).—.

239. (XXVI, 11h,) Feites Gestell sam
Aufhangen der Tafel . . , Mk. 16.—.

210. (XXVI, 12) Kleine Projeotlonetafel
ans Pappe mit S Chief ertafelpapier bezogen,
Sie Btellt gleichfalls die Grund- und Auf-
risatafeln und ihre Umklappung in eine
Ebene dar, wobei jedoch die Tafeln über
ihre Schnitthnie hinaus sieb erstrecken,
(52>c4ö cm.) Mk. a.— .

238. (XXVI, Ha.) firoeae Proj«ctlon>.

tafel. Sie ist nach Art der Schulwandtafetn
hergestellt, besteht aas zwei Teilen, welche

-241. i,XX\l M Durchdringung eines
fiinfseitigen Prismas und einer dreiseitigen
Pyramide aos Pappe und HoIe, Das Pruma
ist leicht abzulieben und zeigt dann heanndera
deutlich die Schnittlinie beidur Kürper, die
auch auf der Pyramide eingezeichnet ist,
□ad den ihnen gerne ineameti Haumteil.
(68x48x50 cm.) Mk. 20.-.

116

YllL Modelle zur darstellenden 6eomeirie.

242. (XXVI, 14.) Gerader Kreiscyliader
mit elliptbchem Schnitt, ans Pappe, nebst
10 Bogen Papier, um mit mehreren Perioden
die Abwickelung der Schnittcnrve, die affine
Corve einer einfachen Sinnslinie, darzustellen.
Der obere Teil des GyHnders kann überdies
gegen den unteren gedreht werden, am die
Dnrchdringang zweier congmenter Gyl Inder
mit sich rechtwinklig schneidenden Axen
zu zeigen (Kreuzgewölbe). (42x24 cm.)

Mk. 8.—.

243. (XXVI, 16.) Zwei congruente Ellipsen
mit gemeinsamer kleiner Axe, sich recht-
winklig schneidend, dem yorigen Modell ent-
sprechend, aus Alnminiumdraht. Mk. 10.—.

244. (XXVI, 16.) Drei Soiiraubeniinlen
mit derselben Axe und Ganghöhe und zwar
in zwei Windungen. Die rechtsgewundenen
Schraubenlinien selbst sind aus Messingdraht,
die Axe und die Speichen aus vernickeltem
Eisendraht sorgfUtig hergestellt Wird das
Modell vor die Wandtafel gehalten, so lassen
sich sowohl die senkrecht zur Axe und Tafel
ausgeführten Projectionen der verschiedenen
Schraubenlinien als affine Curven derselben
Sinuslinie, wie ihre schiefen Parallelprojec-
tionen als affine Curven von Gydoiden ver-
anschaulioben. (Höhe 70 cm.) Mk. 60.—.

245. (XXVI, 17.) Elazeiae SchraabeBltale

mit 5 Windungen, aus Aluminiumdraht.
(Höhe 35 cm.) a. rechtsgewunden, b. links-
gewunden je Mk. 5.—.

246. (XXVI, 18.) Allgemeine projective
Erzeugung der Kegelschnitte, speciell einer
Ellipse. Das aus verschiedenen Metallen
auf einem Keissbrett construierte Modell
lässt unmittelbar den speciellen Fall des
Pascalschen Satzes erkennen, bei dem zwei
Gegenseiten des Sechsecks in Tangenten
ausgeartet sind. (70x52 cm.) Mk. 75. — .

247. (VIII, 4.) Rellefperspeotivisobe Dar-
stellung eines WQrfels, einer Kagel, eines
Kegels und eines Hohloylinders, auf einem
Untersatz vereinigt.

Der Augenpunkt befindet sich in der
Verlängerung der Rotationsaxe des Eugel-
reliefs, 56 cm. vor der vorderen Bildfiäche
des Modells, genauer, vor der Collineations-
ebene, die durch die obere Kante des Ge-
simses hindurchgeht, welches die Basis des
Modells begrenzt. Die Fluchtebene des Bild-
raumes ist 28 cm. hinter der Collineations-
ebene gelegen. Die Tiefe des abgebildeten
Baumes betragt etwa 16,5 cm. Um den
gewtlnschten Eindruck zu erhalten, stelle

VIIL ModeUe snr darstellenden Geometrie.

117

man das Modell in ged&mpftem Licht vor
einer einfarbigen Wandfl&che auf und be-
trachte es dnrch einen im Augenpunkt
angebrachten kleinen kreisförmigen Aus-
schnitt, Von stud. Thoma in München (B).
(20x45x5 cm.) Mk. 23.—.

b) Projeetlonen Ton yier-dimen-
slonalen ESrpem.

248 — 253. (XV, 1-6.) Drahtmodelle
mit Seldeifäden der sechs regelmässigen
vier - dimenslonalen Körper, in den drei-
dimensionalen Kaum projiciert, von Dr. V.
Schlegel in Hagen i. W.

VergL Schlegel, Theorie der homogen
zusammengesetzten Raumgebilde, Nova Acta
d. Kais. Leop. CaroL Akademie, Bd. 44,
Nr. 4. Der Serie ist eine erl&utemde Ab-
handlung von Schlegel beigegeben.

248. (XV, 1.) FOnfzell, d. h. regelmässiges
vier-dimensionales Gebilde, begrenzt von
5 regelmässigen congruenten Tetraedern. Das
Projeotionsmodell besteht aus einem regel-
mässigen Tetraeder, welches symmetrisch
in 4 Tetraeder zerlegt ist. Alle Körper
sind, wie auch in den fibrigen Modellen,
für welche alle folgenden Bemerkungen
gelten, dnrch ihre Kanten dargestellt, und
zwar teils in Draht, teils in Seide. Ein
prinzipieller Unterschied zwischen den Draht-
und den Seidenkanten besteht nicht ; die ab-
wechselnde Verwendung beider Stoffe ist
in erster Linie durch technische Gründe
bedingt. Jedoch dient dieselbe auch dazu,
eine bessere Übersicht über die Schichtungs-
verhftltnisse der Teilkörper zu geben. Die
an dem vier-dimensionalen Körper befind-
lichen Ecken, Kanten, Flächen und Körper
kommen in den Projectionsmodellen genau
in derselben Anzahl und Anordnung zur
Anschauung, wie sie einer der unsrigen
analogen Gesichtswahmehmung im vier-
dimensionalen Räume von einem bestimmten
Augenpunkte aus erscheinen würden. Die
Modelle enthalten, abgesehen von ihrer

Bedeutung fär die Geometrie des vier-
dimensionalen Baumes, auch die Lösung
der rein stereometrischen Aufgabe : ein ge-
gebenes homogenes Polyeder auf alle Arten
homogen in gleichartige Polyeder zu zer-
legen, und treten dadurch in Beziehung zur
Theorie der räumlichen Configurationen.
(Kante des äusseren Tetraeders 6 cm.)

Mk. 1.20.

249. (XV, 2.) Aohtzeii, begrenzt von 8
congruenten Würfeln. Das Modell besteht
aus einem in 7 Hexaeder zerlegten Würfel ;
6 dieser Hexaeder bilden die äussere Schicht
der TeilkÖi*per und gruppieren sich symmet-
risch um das siebente (einen Würfel), welches
den Kern bildet, und demnach im vier-
dimensionalen Räume dem äusseren Würfel
gegenüber liegen würde. (Kante des äus-
seren Würfels 6 cm.) .... Mk. 4.50.

250. (XV, 3.) Sechzehazeil, begrenzt von
16 congruenten regelmässigen Tetraedern.
Ein regelmässiges Tetraeder ist in 15 Te-
traeder zerlegt, von welchen 14 die äussere
Scliicht bilden und sich symmetrisch um
ein inneres, den Kern bildendes regelmässiges
Tetraeder gruppieren. (Kante des äusseren
Tetraeders 8 cm.) Mk. 4. — .

251. (XV, 4.) Ylerundzwanzigzell, begrenzt
von 24 congruenten regelmässigen Okta-
edern. Ein regelmässiges Oktaeder ist in
23 Oktaeder zerlegt. Diese gruppieren sich
symmetrisch in zwei Schichten um einen
Kern (regelmässiges Oktaeder), von denen
die äussere 14, die innere 8 Oktaeder ent-
hält. (Kante des äusseren Oktaeders 13 cm.)

Mk. 18.—.

252. (XV, 5 ) Seohshundertzell, begrenzt
von 600 congruenten regelmässigen Tetra-
edern. Ein regelmässiges Tetraeder ist in
599 Tetraeder zerlegt. Diese lagern sym-
metrisch in 5 aufeinander folgenden Schichten,
welche, von aussen nach innen gezählt, 56,
164, 218, 144, 16 Tetraeder enthalten, um ein in
der Mitte befindliches Kemtetraeder. (Kante
des äusseren Tetraeders 69 cm.) Mk, 120»—.

VIII. Modelle zur d»nt«neDden Geometrie.

2&3.(XV,6.)Hundertzwanzigz«ll,be7renEl
von 120 ooDgruentan regelmleBigeD Dodeka-
edeni. Ein regelmässiges Dodekaeder ist
in 119 Dodekaeder zerlegt, welche in 4
aufeinander folgenden Schichten symme-
trisch nm ein in der Mitte befindliches Kem-
dodekaeder gelagert sind. Die 4 Schichteo
enthalten, von anssen nach innen gezählt,
12, 32, 42, 32 Dodekaeder. — (Kante des
insserea Dodekaeders 21,5 om) Mk, 120. — .

Über diese Projeotionskflrper, sowie über
ihren Znsemmenhang mit den regaUren
Qebietsteilnngeu des Aaames nnd der Theorie
der Transformations-Qrnppen vergl. noch
Hess, lieber perepectivische Dreiecke nnd
Tetraeder, Math. Annalen 1886 ; S h le g e I ,
Ober oongroente Kanmteilnngen, Hoppe's
Arch.1891; Sohonte, Voordracht o»er de
regelmatige lichameo in raimte van meer
dimensies, Utrechtl891; Ooarsat, Snr lea
Bnbstitutions orthogonales et les divisions
rjgDlieres de l'espace, Ann. de l'EooIe
Nonnale 1889.

3öl. (XV, 7.) Projsotlonsmodell des vler-
dlmensloMlen vierseitigen Prismas and seiner
Zerlegung in vier inhaltsgleiche FünfzeUe.
Drahtmodell mit Seidenftden. Von Dr. K
Schlegfl in Hagen i. W.

Durch Parallel Verschiebung eines Drei-
ecks in der Ebene, wobei die Ecken parallele
Strecken beschreiben, entsteht die ebene
Frojeotioii eines dreiseitdgeD Prisma«. In
analoger Weise erh&lt man durch Farallel-
verschiebnng eines Tetraeders im Raame
die drei-dimennionale FrojectioD des ent-
sprechenden vier-dimensionalen Friamas.
Und wie dort durch 3 Diagonalen der das
Prisma begrenzenden Parallelogramme die
Zerlegnng desBelbeo in 3 inhaltsgleiohe
Tetraeder znr Ansohannng gebracht wird,
Bo hier durch 6 Diagonalen der an der Be-
grenzmig des vier-dimensionalen Prismai
vorkommenden Parallelogramme die Zer-
legnng desselben in 4 inhaltagleiche Pflnf-
lelle, die in der von dem betrefienden Fro-
jectioDsnodell bekannten Form inr An-

schauung kommen. Die Kanten des Pro-
jectJonamodelle sind durch Draht, die 6 die
Teilung angebenden Diagonale durch Seidcn-
fEden dargestellt. (Seitenkante des Frismaa
11 cm.) Mk. 4-—,

Vergl. hierzu Schlegel, Snr nn thäor^me
de gdom^trie h 4 dimensioiiB, Comptes lendus
de l'Association frao;. pour l'avancement des
Sciences, (Congrfis de Toulouse, 1887.)

255—259. (XV, 8— 12.) AnsicMen, Netze
ond Modelle aus Cartonpapler zu den Draht-
modelten der zwei letzten regelmässige!
vier-dlnenelonalea KSrper. (Zu Nr. 5 Sechs-
hundertzell, nnd Nr. 6 Hunde rtzwanzigzell.)
Nach Zeichnungen von Dr. V. Schlegel in
Hagen i. W.

Der Einblick in die gesetzm&ssige Zn-
sammengetzung der beiden aus 599 Tetra-
edern nnd 119 Dodekaedern bestehenden
ProjectionskOrper wird bedeutend erleichtert,
wenn mau eich die verschiedenen Körper-
schichten, aus denen diese Gebilde bestehen,
der ßeihe nach von aussen nach innen
abgelöst, oder umgekehrt von innen nach
aussen angesetet denkL Man ei'hklt dann
verschiedene Polyeder von bemerkenswerter
Gestalt, deren Ober&che jedesmal die
Orenze zweier EOrperBchichten darstellt. —
In den Drahtmodellen kommen von diesen
Polyedern nur die Kanten als Drahtkanten
zur Anachaanng, in den Cartonmodellen

dagegen auch die FUchen. Ausserdem
gestatten die letzteren Modelle im Gegen-
satz zu den ersteren die Betrachtung jedes
einielneo Polyeders, ungestört von den

IZ. Fnnotionentheorifl.

119

Obrigen. Eine verffleichende Betrachtang
deBaelbeo Polyedere am Carlen- and am
Brahtmadell wird aleo ancb das VerBtSndniR
des letzteren erleichtern.

Die zam Drahtmodell Nr. 5 gehörigen
Gartonmodelle zeigen (von innen nach
aussen ^rechnet) daa 24-F)Bch, 68-Flach
(beide von oktaedneobem Typna), ferner daa

innere 76-Flach, an» dem vorigen dnrch
Aufeetien von 16 Tetraedern entatehend,
(wodorcb der oktaedriscbe Typus in den

tetraedriachen verwandelt wird], daa Inaaere
76-FlBch nnd daa 40-Plaob. — Die Oarlon-
modelle zn Nr- 6 zeigen in gleiober Reihen-
folge daa innere nnd ftoasere 132-71aoh tmd
du 72-FlMb.

Die N e t E e der Carte nmodelle, von denen
jedeB ana einer Aaiabl getrennter congmenter
Stücke besteht, dienen znr Selbatanfertignng
der Oartonmodelle.

Den in je einem Hefte vereinigtea An-
sichten der CartoDmodelle «ind aooh die
Netastficke in je einem Exemplare bei-
gegeben.

2B&. (XV, 8.) Zwei Hefte mit litho-

grapbiBohen Aasiahten nndNetien. Mk, 4. — .

250. (XV, 9.) 5 Carton-ModeUe an Nr. 6.

Uk. 20.-.

267. (XV, 10.) Netze zn Nr. 6. Mk. 1.60.

268. (XV, 11.) Drei Oarton-Modelle lu
Nr. 6 Mk. 20.-.

259. (XV, 12.) Netie an Nr. 6. Mk. 2.60.
Preis der ganzen Serie Nr. 248 — 269

IX. Functionentheorie.

2«0— 262. (XVII, 10,11,12.) Modell« Rle-
mann'iDher Fiaohan (S.), n&mlich

260. (XVII, 10.) Eiifaoh znamiMii«
hängende Rlemun'BDhs FlSohe mit bImm
WIndungspuakt I. Ord. (zweibUttrig.) Mk. 2.-.

261. (XVII, 11.) Desgl. mit einen WIh-
dungipoBkt 2. Ord. (dreiblättrig). Mk. 2.—.

262. (XVII, 12.) Drslfach zniammen-
hlngaade Fliehe mit einer in aloh iHrQok-
kahrenden Begrenzungsllnle . . Mk. 2.—.

Znaammea Mk. 6. — .

263-272. (XIV, 1-10.) 16 Modell« »r

Darttelluag ¥•■ Fuootionsn einer oonptsxen

VerälderllofaBD. AnagefOhrt nnter Leitung

von Prof. Dr. Walther D^ck.

Um den Verlanf einer Fnnetion einer eom-
plexen Vei&nderlichen in der Umgebnng
gewiaaer »ingni&rer Stellen und ebenso den
Gaaamtverlanf gewisser Typen von Fnno-
tionen einer compleieo Vertmderlichen doroh
eine rtnmliche Daratellnng za veransohan-
lichen, sind in der bekannten Weise sowohl
der reelle als anch der imaginBre Teil der
PuDctioDswerte Ober der Ebene des com-
plexen Ai^nmentea als Ordinatenaafgetragen.
So wird jede Fnnetion einee oomplezeu
Argnmentea dnrch cwei mit R nnd / be-
zeichnete Fl&ohen verainnlicht, deren gleich-
zeitige Betrftohtong ein Bild dea Fanctionarer-
lanfes liefert Zur genaueren Oharacteriatik
der WertBjsteme sind auf den FMch«a

120

IX. FnuctioDentheoHe.

Niveaulinien in gleichen Abatonden (die
Eioheit des Maseatsbes = 3 cm.) aod die
zugehörigen OrthogonaltrAJectorieo aufge-
tragen. Dabei stehen die jedeomal zu-
aammengehQrigen Modelle Jf und / in der
Beziehnngzu einander, dossdieProjection der
NiTttanlinien und f aUlinien der einen Fläche
in die Ebene des complezen Argameates
mit der Projeotion der Falllinien, bezw.
NiveaDlinien fOr die andere FUche in eben
diese Ebene idenÜBoh ist.

Die Serie enthSlt folgende Daratellangen :

263— 2G5. (XIV, 1, 2 n. 3) veranschau-
lichen das Verhalten einer Fonotion in der
N&he von Veraweignngsstellen nnd Ewar:

aeS. (XIV,laB.b.) Für die Function
iB* ^ i* — 1. Die beiden Aber der s-Bbene
entatehenden Fl&chen H und / sind Fl&ohen
4. Ord., die sich rweibl&ttrig über dieser
Ebene ausbreiten. Die i := + 1 und i = — 1
entsprechenden Funkte sind die Ver-
zweigangspunkte. Von Lehramts-Candidaten
A. Wildbreti (D). (12X12X12 cm.)
Je Mk. 10.-.

264. (XIV,2an.b.) Für die FnnotioD
■ai*=z* — 1. Die cngehOrigen, zweibl&tlrig
aberder z - Ebene ansgebreiteteo Flachen sind
von der 8. Ord. nnd bei t = + 1, i — — I,
! =^ + '", 2 ^: — i verzweigt. Von Lehramta-
Candidaten WildbriU{J}). (12x12x12 cm.)
je Mk. 14.-.

asss

36fc.(IIV,3.) rar die Function iB<-l-i».
Hier sind die beiden Flftchen R nnd /
identisch. Man hat in unserer Darstellnng
eine vierblattrig tiber der i-Ebene aiah aas-
breitende Flache (von der 16. Ord), für
-welche jedesmal rwei fibereinanderliegende
. Funkte ala reeller, bezw. imaginärer Teil

der Function w einander zngeordnet aind.
Die Pnnkte i=+l sindVerzweignngspankte,
in denen alle vier Butter der Fl&ohe in-
sammenhängen, bei s^oosind die Bl&tter
paarweise verzweigt. Von Lehramtacandi-
daten Wildbrett (D). (12x12x12 om.)
Mk. 16—.
266. 267. (XIV, 4 n. 5.) sollen daa Zn-
sammenrDcken zweier logarithmisoher Un-
endlichkeit apcnkte zn einem einfachen alge-
braischen inr AoEchannng bringen,

266. (XIV, 4.) TB = i. Von Lehramts-
Candidaten Wimritt (D). (12x12x12 cm.)
Mk. 11.—.

1 ,

, Von

267. (XIV,5an.b,) ■m = ^log-
Assiatenten Surihardt und stud. math. Klfiier
(D). (12x12x12 cm.) . . je Mk. 11.—.

Die Periode des Logarithmns =^ ' -z

kommt selbaverst&ndlich nar auf der dem
imaginären Teile von w entsprechenden
Fl&ohe znr Geltung. Sie ist im Modell
= 4i' angenommen. For Um i^o findet
der Uebergang der Fachen 5. in 4. statt,
wobei die bei 6. in i — ± ( gelegenen „Ver-
zweignngsptinkte nnendlicb hoher Ordnung"
ZDsammeDrflcken, w&hrend gleichseitig die

Periode ' y unendlich gross wird.

268. (XIV, 6.) 6™ = e*'verainnlichtden
einfachsten wesentlich singnl&ren Fonkt, nnd
zwar ist der reelle Teil der Funktion dnrch:

z^x-\-iy gesetst ist)
dargestellt, w&hrend der imaginftre Teil

dnrch eine Transformation der {x,y) Eben«
dorch reciproke Radien ans eraterem her-
Euleilen ist. Von stnd. math. Kleiber (D).
(17X18X15 cra.) Mk. 18.-.

IX. FnnotiaiienthMrie.

131

289-278. (XIV, 7— Itt) Dia Modelle
dienen lor VeranBah&nlichiiDg des VerliiifaB
der elliptischen Functionen p (») und p' (»]
In der Weleratrtsa'ecfaen Normaiform. Kb
wurden dabei die beiden beBonderen Falle
far die Darstellung gew&blt, für welche in
der cnbiBcheD Gleichnng

4j»-

•giS

-Si-

einmal g^ := 0, dann ^-j ^ ist ; sie sind eh-
gleich Heprftaentanten der beides FnuctionE-
klaseeii, filr welche die Diicriminante G der
obigen Gleichnng poBitiv, bezw. negativ ist.

2«». 270. (XIV, 7 a, b. u. 8.) Hier ist
f a ^ 4i ^s = gewählt Dann ergeben aicli
fOr die Perioden m, nnd luj der elliptisoheii
Functionen die Werte

Oi, = 1^11 , 0,^ = 1,311 . 1 ^ fli, . >.

Die Symmetrie der FlSohen innerhalb des
Periodenqnadrates (es sind jedesmal vier
aolober modelliert) ist ansser durch die Be-
lationen

fp {-u)=p («), p- {~ «) = -p' («)
durch die hier speciell geltenden Beziehungen
P (.■") = -?{>■)
p-{iu) = ip-{«)
bezeichnet. Die letztere Formal leigt zu-
gleich, dass fflr/' {u) in diesem Falle das den
imaginhi^Q Teil darstellende Modell der
Form nach identisch ist mit dem ftr den
reellen Teil, und nar aeiner Lage nach durch
einen Winkel von 90" gedreht erscheint.
Die Modelle kennzeichnen ebenso wie die
folgenden Nr. 9 und 10 in charakteriGtischer
Weise das Verbalten einer Function in der

Vmgebong eines zwei&chen [fOr p (»)] bezw.
dreifachen [fikr f' («]] Unendlichkeitspunktes.
Neben diesen treten in den Modellen fBr
f{u) noch gewisse „Sattelpankte" — den
Werten, fBr welche p'{h)^0 wird, ent-
sprechend — besonders hervor; und ebenso
sind in den Modellen fftr p' (u) in den
Punkten, fQr welche p" (k) =^ wird, Sattel-
punkte YOrhanden, Von Assistenten Buri-
hardt und Lehramtscandidaten WildbrettQä).
(16x16x16 cm.)

Nr. 7a n. 7b je Mk. 32.-, Nr. 8 Mk. 36 -.

271. 272. (XIV, 9 a, b. u. 10a, b.) Hier sind

die Constanten g^-^% g^^^ zu Grande
gelegt, fQr welche die Perioden la^ und «ig
die Werte

Wä^l,2143, <UB=O,6072+1,O516.=Ac»i
erhalten. Weiter hat man (ftr die Bezeich-
nung der in den Flächen ersichtlichen
Symmetrien der Belationen:
p[fu^ = t*p{u)
p-{,«) = ,tp-{u).
wo t eine sechste Eiobeitswurzel bezeichnet.
Von AsBistenten Burkhardt nnd Lehramts-
Candidaten Wildbrett (D). (15x22x16 em.)

Nr. 9a. n. 9b. je Mk. 35.—.

Nr. 10 a. n. 10 b. je Mk. 38.—.
Den Modellen ist ein erläuternder Text
beigefegt und 6 Figurentafel n, in welchen
die anf den Fliehen verzeichneten Niveau-
linien und Falllinien in ihrer Projection anf
die Ebene des complexen Argumentes dar-
gestellt eind.

122

X. Mechanik und Kinematik.

273. (V, 1.) Darstellung der elliptischen
Function (pz=^am{t(, k) durch eine Fläche.

(p wurde vertikal, k und ti horizontal auf-
getragen (Massstab für ^- Achse wurde ^ mal
so gross als der für die 2 andern Grössen
genommen). Für k^ <:'i genfigen zur Oon-
strnction des Modelies die Legendre'schen
Tabellen, und in diesem Intervall erstreckt
sich die Fläche auch in vertikaler Richtung ins
Unendliche. Zur (Jonstruction des Modells
fflr die Werte ^* > 1 muss man das elliptische
Integral

JVl— z&asina^

in ein anderes solches Integral mit einem
Modul A^ < 1 transformieren, am besten

durch die Annahme ^* = 72* ßs ergibt sich
dann, dass im Intervall ^^ > i das Modell
in vertikaler Richtung sich nicht ins Un-
endliche erstreckt, sondern eine endliche
Höhe besitzt, die um so kleiner wird, je
grösser k^ ist. Modelliert und mit einer
Erläuterung versehen von Th. Kuen und
Chr, TVolf(B), (19x25x35 cm.) Mk. 18.—.
274—276. (XVII, 5.) Orthogonalsysteme
auf der Kugel, ausgeführt von Assistenten
/. KUiber (D). (Durchmesser der Kugel

15 cm.) Die Modelle geben durch eingeritzte
schwarzgeförbte Linien dargestellte qua-
dratische Einteilungen auf der Kugel,
a. u. b. bei zwei aufeinander senkrechten
Kreissystemen mit zwei getrennten, bezw.
zusammenfallenden Polen.

Zusammen Mk. 26. — .
c. bei zwei Scharen von aufeinander senk-
rechten Loxodromen. . . . Mk. 8.50.
Vgl. Klein-Fricke, Elliptische Modul-
functionen, Bd. I (Leipzig 1890) Seite 165 ff.

277—279. (XVII, 6.) Die den regulären
Polyedern entsprechenden regulären Gebiets-
einteilungen auf der Kugel (D). (Durchmesser
9 cm.) Die Modelle geben durch eingeritzte
schwarzgefiirbte Linien und durch wechsel-
seitige Färbung der Dreiecke

a. den Tetraedertypus (Einteilung

TT 11 TT \

in 24 Dreiecke mit den Winkeln -g-i -q"» y j 5

Mk. 5.70.

b. den Octaedertypus fEinteilung

in 48 Dreiecke mit den Winkeln—» y, ^ j ;

Mk. 7.—.

c. den Icosaedertypus (Einteilung

11 It TT \

in 120Dreiecke mit den Winkeln— , y, y j ;

Mk. 8.—.
Bezüglich der gruppentheoretischen und
functionentheoretischen Bedeutung dieser
drei Modelle sei auf das Werk von F. K 1 e i n ,
Vorlesungen über das Icosaeder und die
Auflösung der Gleichungen vom 6. Grade
(Leipzig 1884) verwiesen, woselbst auch die
weitere Litteratur genannt ist.

X. Mechanik und Kinennatik.

2S0. (V, 6.) Die Kettenlinie auf der Kugel.

(Vergl. die Abhandlung von Clebsch in
Orelle's Journal, Bd. 57, pag. 104 ff.). Die
beiden auf der Kugel vereinigten Typen ent-
sprechen dem Fall, wo das elliptische Integral

sich auf ein Kreisintegral reduciert; in den
Bezeichnungen der genannten Abhandlung

3 , , 5

(>8in« = l, a) (> = ^> D) ^==4*

Durch eine Schnnr von Glasperlen laeeen

X. Meohanik und Kinematik.

123

sich die Curven leicht experimeDtell prfifen.
Berechnet von Assistenten Fischer in München
(B). (Grösse 9 cm.) .... Mk. 8.—.

281« (II, 6.) Bahncurve einas schweren
Punktes auf der Kugel (also die des sphä-
rischen Pendels.) Es ist der Fall dargestellt,
wo der oberste (Ausgangs-) Punkt der Bahn
sich in der Höhe des Mittelpunktes der
Kugel befindet; die Anfangsgeschwindigkeit
ist 80 gross gew&hlt, dass die Bahncurve
sich nach 3 Perioden schliesst. Auch ist
der geometrische Ort der untersten Punkte
der verschiedenen Ortslinien angegeben,
welche verschieden grossen Anfangs-
geschwindigkeiten im Anfangspunkt ent-
sprechen. Die Berechnung der Bahn u. s. w.
ist von stud. math. Schleiermacher ansgefährt
(B). (18x14 cm.) . . . . Mk. 11.—.

282-284. (XXIX, 1-3.) Drei Modelle
zur Krelseltheorle, aus Metall gearbeitet. Von

Dr. Hermann Grassmann in Halle a. S.

Eine jede Bewegung eines starren Körpers
um einen festen Funkt lässt sich nach Foin-
s o t auffassen als ein Fortrollen des mit dem
Körper fest verbundenen Polhodiekegels
auf dem im Baume festliegenden Herpol-
hodiekegel. Beide Kegel haben ihren
Scheitel im Drehpunkte des Körpers, und
ihre BerOhrungslinie bildet für jeden Augen-
blick die instantane Drehaxe des Körpers.
Trägt man noch vom Drehpunkte aus auf
jeder Erzeugenden der beiden Kegel eine
Strecke ab, welche durch Länge und Sinn
die momentane Winkelgeschwindigkeit ver-
anschaulicht, so erhält man als geo-
metrischen Ort der Endpunkte auf dem
Polhodiekegel die „P o 1 h o d i e c u r v e", auf
dem Herpolhodiekegel die „Herpolhodie-
curve". Beide Curven wickeln sich dann
ebenfalls bei der Bewegung des starren
Körpers aufeinander ab. Regelt man dabei
zugleich diese Abwickelung in der Weise,
däss ihre Winkelgeschwindigkeit in jedem
Augenblick der Länge der auf der Drehaxe
abgetragenen Strecke entspricht, so wird die
Botationsbewegong des Körpers vollkommen
getreu nachgeahmt,

Bei dem kraftfreien starren Körper ist
der Polhodiekegel ein Kegel zweiter Ordnung,
der die Hauptträgheitsaxen des Körpers zu
Hauptaxen hat, und die Polhodiecurve ein
Zweig einer Raumcurve viei*ter Ordnung,
welche aus dem Polhodiekegel durch ein
mit ihm coaxiales EUipsoid ausgeschnitten
wird. Die Herpolhodiecurve dagegen ist
eine im Räume festliegende ebene Curve
und wird erzeugt, wenn man den Polhodie-
kegel längs der Polhodiecurve abschneidet,
seinen Scheitel im Räume festhält und dann
den Kegel mit seiner Randcurve unter Aus-
schluss des Gleitens auf der Herpolhodie-
ebene abrollen lässt. Dabei ergeben sich
drei verschiedene Bewegungsformen:

282. (XXIX, 1.) Wenn nämlich der Pol-
hodiekegel die Axe des kleinsten Trägheits-
momentes umschliesst, erfolgt sein Abrollen
auf dem Herpolhodiekegel epicycloidisch,

Mk. 100.—.

283. (XXIX, 2.) Wenn der Polhodiekegel
die Axe des grössten Trägheitsmomentes
umschliesst, so ist sein Abrollen p e r i -
cycloidisch Mk. 100.—.

284. (XXIX, 3.) Der dritte FaU ist der
Übergangsfall, in welchem der Pol-
hodiekegel in ein (reelles) Ebenenpaar aus-
geartet ist Mk. 70. — .

Ganze Serie Mk. 265. — .
Den Modellen ist die Abhandlung bei-
gegeben ; H, Grassmann, Die Drehung eines

X. Mechanik nnd Einemstilc.

luraftfreien atarron Körper« um einen festen
Ponkt. Zeitschrift far Mathematik und
Physik. Bd. 48. 1903.

285-288. (XXIV, 1-4.) KInemaltsohe
ErzBagang der allgenelnen cyclliohen Curven,
ans Matal] nnd Glas gearbeitet, von Prof.
Fr. Schilling in Götting^n. Den Modellen
liegt die Definition in Gmnde ; Eine all-
gemeine cyolische Corve wird von einem
Punkte M einea Ereisea beaohrieben, wenn
dieaer auf einem festen Ereiae abrollt
Jede Bolche cyolische Cnrve kann indeaa
in dieser Weise dnroh zwei venohiedene
Ereiapaare erzeegt iverden, die sich da-
durch nuterscheiden, daaa im einen Falle
der als Scheibe gedachte bewegliche Kreis
das Centmm dee festen nicht bedeckt, im
anderen Falle bedeckt

285. (XXI7,l.)teigtnnB die drei Artender
Eirttroclitlilei, vwaohlnngene, gestreckte nnd
gespitite Kpitrochoide, erzeugt ala solche
mit freiem Centrnm Mk, 56. — .

286.CXXrV,2.) gibt dieaelhe verachlungene
Epltmoholde wie beim vorigen Modell, jedoch
eraeagt ala aolohe mit bedecktem Centmm ;
daneben iat auch die geapittte Epitrochoide
hinzDgefQgt, die eich ala völlig verschieden
von der dea eraten Modells zeigt Mk. 67. — .

28?.{XXIV,3.) neigt die dreiÄrten derHy-
patniobolden, die verachlnngene, geatreckte

nnd gespitite Hypotrochoide, ereengt als
solche mit freiem Gentium. . Mk. 59.—

288.(SXIV,4.) stellt dieselbe gestreckte
Hypotrochoide dar, jetzt erzengt als solche mit
bedecktem Centmm, daneben wird noch von
einem Funkte dea beweglichen Systems eine
Epitrochoide im featen System beechrieben
{ümkehmng der Bewegung). , Mk. 64.—.
299—291. (XXTV, 6-7.) Wnenatitohe Er-
zengoag aptcleiler oycllscher Curvin, ans
Metall nnd Glas gearbeitet, von Prof. Ft.
Schilling in Göttingen.

288. (XXIV, 5.) Erzeugung von Ellipsen

und Strecken durch AbroUnng eines Ereiaea

in einem solchen von doppeltem Radius,

Mk. 59.—.

290.291. (XXIV, 6. u.7.)veraDachanliohen
die Ertengnng der verschlungenen, ge-
spitzten und gestreckten Kreltevolventen, bez.
Cyclolden durch Ährollnng einer Geraden auf
einem Kreise, bez. eines Ereiaes auf einer
Geraden.. . . Mk. GP.— n. Mk. 58-.

292. 293. (XXIV, 8 n. 9.)
und gegenlSullgei ZHillIngikurbelgetrtabe, ans
Metall gearbeitet, von Prof. Fr. Schilling
in GOttingeu. Sie entatehen aus einem ein

AntiparallelogrammbildendenGelenkviereck,
wenn eines der beiden kleineren oder
grösseren Glieder als „Steg" festgehalten
wird; denn die beiden dem festen benaoh-
barteu Glieder, die „Kurbeln", vermOgsn
sich im ersten Palle in gleichem, im tveitcn

XL< MafhemitiBche PliyEdk.

las

im eDtgegengeBetzten Sinne zn drehen. Die
bei der Bewe^^ng auf einander abrollenden
Polbahnen rind Ewei congmente Ellipsen
oder Hyperbeln. Mk. 20.— n. Mk. 24.—.
291— 2»6. (ZXIV, 10—12.) fienaae
GeruifSlinuioeB, ans Metall gearbeitet, von
Prof. Fr. Schilling- in Göttingen,

291. (XXIV ,10.) Inveraor vsn Peaicellier
(erfanden 1864). Er besteht aus einem
Gelenkrhombns ^, B. C, D nnd zwei (an den
Gegenecken Cand Z>) angreifenden gleichen,
mit dem anderen Endpunkte wieder gelenkig
mit einander verbandenen Gliedern FC^=.
PD. Wird das Oelenksj^tem bei fest-
gehaltenem Fonkte P deformiert, so
smd die Fnnkte A und B einander ent-
aprechendePonkte derjenigen Transformation
durch reciproke Radien, deren Centrum P

und deren Potenz PC* — AC* ist Je nach
der Einstellung des Modells wird der Pnnkt
Ä auf einem darch den festen Pnnkt P
gehenden oder auf einem anderen Kreise
geführt; dementsprechend beschreibt der
Funkt B eine Strecke oder einen Kreis-
bogen mit sehr grossem Radins. Die ana-
logen Bemerkungen gelten auch ffir die
beiden folgenden Modelle. . . Mk. 22. — .

295. (XXIV, 11.) loversor von Hart
(erfunden 18T4), Er besteht ans einem
Antiparallelogramm, dessen Seiten von einer
Parallelen zu den Diagonalen in den Funkten
Q. R, S, T geschnitten werden. Drei dieser
Punkte haben dann Beziehung zn einander
wie soeben die Pnnkt« P, A, B.

Uk. 22.—.

299. (XXIV, 12.) lavaraorvoD Sylvester.
Kempe (1875), eine Verallgemeinerung des
vorigen. Auf jeder ;8eite des Antiparallelo-
gramms haben wir in richtiger Weise fihn-
liohe Dreiecke au&nsetien , deren freie
Ecken wieder mit Q, B, S. rtrazeichnet seien.
In der Grenze nehmen sie eben die Lage
wie beim Modell 11 an; demgemftss stehen
sie wieder zu einer Transformation durch
rooiproke Radien in nächster Beziehnng.
Hiermit im Zasammenhange steht der Satz,
dass bei jeder Deformation des Geleok-
systems die 4 Punkte Q, R, S, T stets ein
Parallelogramm mit oonstanten Winkeln und
constantem Inhalt bilden, . , Mk. 28. —

XI. Mathematische Physik.

<Elektrlcltät, OpUk, Bla«tloität, Wärmelehre.)

297—299. (XXVII, 1-3.) Drei räum-
ilohe Drahtmodelle elektriacher Aequipotentlal-
nnd Kranilnien. Von Prof. O. Wiener in
Leipzig. Die Modelle stellen die Ver-
teilong des Potentials in einer Ebene dar,
in welcher 1) ein elektrischer Massenpunkt,

2) zwei gleichnamige und gleichwertige,

3) zwei ungleichnamige nnd gleichwertige
elektrische Massenpankte gegeben sind.

Trftgt man in jedem Pnnkte senkrecht ztur
Ebene das Potential anf, so erhält man eine
FUlche, die als topographische FlKche anf-
gefaest mit ihren Nivean- nnd FallUnien, be-
ziehungsweise die Aeqnipotential- nnd Kraft-
linien darstellt; diese Linien sind bei den
Modellen beziehungsweise durch weisse nnd
rote Dr&hte wiedergegeben. Der Zusammen-
hang der beiden Arten von Linien kann

XI. Malkematisclie Fk^ük.

auch experimeDtal veranaohaalicht werden,
indem man mit einer in grosserer Entfernung
anfgestellten, der LioBen entblOisten Bogen-
lampe die mit ihren Niveanfl&chen an&eoht

geBtellleii Drahlmodelle beleuchtet und ihren
Schatten auf einen dahintergea teilten, zu
den Niveauflächen parallelen Schirm auf-
fängt. Da wo die topographische Fl&che
am steilsten, ein fallender Körper also die
grösate Beechlennigung erfahren wßide,
liegen die Projectionen der Niveaulinien am
diohteBten gedr&ngt, als elektrische Aequi-
potentiallinien anfgefaBst, zeigen sie durch
ihr enges Aneinanderliegen die Gröase der
elektrischen Kraft an. Diese kann auaseidem
noch durch die Dichtigkeit der EraftUnleo
erkannt werden, die in anmittelbarer Nfthe
der gedachten elektrischen Maasenpunkle
nnter gleichen Winkeln analaufend ange-
nommen worden. Legt man die Modelle
nm, BO dass die Lichtatrahlen parallel den
Niveanfl&cken aoffallen, so projioieren sich
diese als gerade gleichweit abstehende Linien.
(Höhe 86 cm.) .... Nr. 1 Mk. 40.—.
Nr. 2 n. 3 je Mk. 80.—.

300. (TI,3.) Wellentiaofae fOr optisch
einaxige Kry stalle mit negittlver Doppel-
brechung. Ein Ausschnitt des Sphfiroida
Keigt die Kugel, welche mit jenem zusammen
die Wellenflftche bildet. Das Axenverb&ltnia
8,8 '. 7,8 ist nngefUir das des Kalkspathea (B).
(8x9 cm.) Mk. 4.—.

301. (X, 7.) Dasselbe für optisch elnaxlgo
Krystalle nit positiver Doppelbrechung, Ein
Anaachnitt der Kugel zeigt daa verlängerte
fiotatioDsellipaoid. Das Axenverb&Itnis ent-
spricht ungefkbr dem des Zinnobera (B).
(9x9 cm.) Mk. 4.—.

302. (VI, 1.) Fresnel'sohe Wellenflaohe
für optisch zwelaxlge Krystalle, Ifcngs eines
Hanptschnittea zerlegbar, ao das 9 der innere
Mantel in den Hohlraum dea ftussern ein-
gefügt werden kann. Sie ist eine Fl&che
4. Ord. und Klasse (eine Eummer'scbe Flfiche,
vergl. Abt. 111, b.), besitzt 4 reelle coniache
Knotenpunkte und ebensoviele längs Kreisen
beröhrende Doppeltangentialebenen (die 12
andern aind imagin&r). Man erhält diese Fläche
aus dem folgenden Ellip8oiddadurch,dass man
auf den im Mittelpunkt errichteten Normalen
zu CentraUchnitten (Ebenen durch den Mittel-
punkt) die 2 Hauptaxen dieser Schnittcurven
(Elüpaen) nach beiden Seiten hin abtr*gt.
Vrgl. Ral m on-Fied 1er, Geom. des Raumes,
II. Tl., 4, Cap. (B). (12x8 cm.) Mk. 9.—.

303. (VI, 2.) Elüpsold hier», ans dem die
eben genannte Wellenfllcbe auf die ange-
gebene Weise hervorgebt. (12xScm.)Mk 4.—.

304. (VI, 4.) Welienfläche fQr Optisch
zwelaxlge Krystalle In einzelnen Ootanten
mit den sphärischen und eUipsoidiscbon
Cnreen (die also bezw. durch Kngeln ond
Ellipsoide ansge schnitten werden}. Anf
jedem der beiden Mftntel iit du eine System

XI. Matbematisohe Pkysik.

127

Bphftriscli, das andere eüipsoidisch. Auf dem
Modell sind ferner die Nabelpnnkte ange-
geben. Die Oefi&mngen markieren die Rich-
tung des zugehörigen Strahls. Von Rector
Dr. BökUn in Reutlingen, nebst einer Er-
läuterung. (24x9 cm.) . . . Mk. 8.50.

305. 306. (XVII, 8a. u. b.) Darstellung
der GestaltsSnderungen einer schwingenden
Saite (Fortpflanzung stehender Wellen),
a) für die Elaviersaite, b) f&r die Violinsaite.
Von Oberlehrer Dr. Schellenherg^ Mülheim
a. d. Ruhr. (K.)

Für die Differentialgleichung der schwin-

^a« d^

hat d*Alerabert

gendenSaite^^a_^^2

die allgemeine Lösung z =/i {x -\- 1) -f/i (x — t)
angegeben, unter /i ,/a beliebige Functionen
ihrer Argumente verstanden. Mit ihr kann
jedem beliebigen Anfangszustand der un-
begrenzten Saite entsprochen werden. Denkt
man sich nun den Anfangszustaod einer auf
beiden Seiten eingespannten Saite von der
L&nge / über die Endpunkte hinaus sym-
metrisch im Bezug auf sie ins Unbegrenzte
fortgesetzt, so entsteht eine Aufgabe für die
unbegrenzte Saite, deren Lösung in der
Längsrichtung der Saite die Periode 2 / hat.
Eine halbe Periode derselben ist gleichzeitig
die Lösung für die begrenzte Saite. Die
Modelle stellen die Lösungen dar, die den
a) bei der Elaviersaite, b) bei der Violinsaite
gegebenen Anfangszuständen entsprechen :
erstere erhält durch den Anschlag mittelst
des Hammers im getroffenen Stück eine
gewisse Geschwindigkeit, letztere wird mit
dem Finger oder durch den Strich des
Violinbogens in einem Punkte gezupft, so-
dass sie eine einfach gebrochene Linie dar-
stellt. Um die Ableitung der Lösung durch
das oben angedeutete Symmetrieprinzip klar
hervortreten zu lassen, kommen in den
Modellen in der Längsrichtung der unbe-
grenzt gedachten Saite 2 volle Perioden zur
Darstellung, in der Richtung der Zeit ^,
wo sich ebenfalls die Periode 2 / ein-

stellt, 3 halbe Perioden. (33x26x7 cm.)
Preis für 8 a Mk 16.-, für 8 b Mk. 20.—.

307 — 309. (XVII, 9 a. b. c.) Wärme-
Strömung In einem Stabe (a, b) und In einem
Ringe (C). Von Oberlehrer Dr. Schellender^^,
Mülheim a. d. Ruhr (K).

307. (XVII, 9 a.) /^i (AT, O = ^=^ ver-

anschaulicht den Temperaturverlauf in einem
unbegrenzten Stabe von der Anfangstempe-
ratur 0, dem in einem Punkte eine gewisse
Wärmemenge zugeführt worden ist. Durch
zweckn^sige Überlagerung solcher Func-
tionen kann man jedem beliebigen Anfangs-
zustand im unbegrenzten Stab gerecht werden.

308. (XVfl,9b.) F^ {x, t) = '-^ ^* stellt

den Temperaturverlauf in einem ebensolchen
Stabe dar unter der Voraussetzung, dass in
einem Punkte 2 Störungen der ersten Art
von entgegengesetzt gleicher Intensität an
einander gerückt seien. Durch Hinzunahme
dieser Function kann man auch für den
begrenzten Stab die allgemeine Lösung auf-
stellen. — Die Functionen F^ und F2 werden
als Hauptlösungen 1. und 2. Art für den
Stab unterschieden.

309. (XVII, 9 c.) V(x,t)

(X i'Kt'\

für / = 2 gibt über den Temperaturverlauf in
einem unbegrenzten Stab Aufschluss, dem
in Abständen von der Länge / gleiche
Wärmemengen zngeführt sind; es handelt
sich also um eine Überlagerung unendlich
vieler Hauptlösungen der ersten Art. Die
Function hat hinsichtlich der Veränderlichen
X die Periode /; im Modell kommen 3 solche
Perioden zur Darstellung. Jede einzelne
Periode bedeutet offenbar gleichzeitig eine
Hauptlösung 1. Art für einen Ring vom
Umfang /. (28x17x18 cm.)
Preis für 9 a Mk. 16.—, für 9 b Mk. 18.—.

für 9 c Mk. 20.—.

198

Xil. KiTBtalittniotar.

XII. Krystallstructur.

(Reguläre Oebletstellungen des Raumes.)

310-321. (XXX, 1-12) Modells zur D«r-
•telluiiB von regullren GeblBtitellungen ilat
Raanes. Von Professor Dr. A. Sckoenßüs
in GCttingen, Die Serie besteht ans 2 Typen,
Tovon 10 EU grosseren BlOcken Eusammen-
geseizt sind.

Vermöge jeder Gruppe von Transfonna-
tionen des Baumes ia sich (die sich ans
Translationen, Drehnngen um Aien und
Spiegeinngen Ensammen setzen) zerftllt der
Baum in endliche Bereiche, die bei diesen
Oparationen ineinander übergehen. Die
Form der Bereiche kann mannigfaltig ge-
wählt werden ; hier sied sie ebenfl&chig
begrenst. — Gleichwertig sind alle Punkte
des Bannies, die in Folge der Operationen
einer Gruppe ans einem gegebenen Pankt
herrorgehen. Ein „ Fundamen talbereich"
hat in seinem Inneren von allen gleich-
wert^en Punkten nnr einen; die Punkte
der Oberä&che dagegen grnppieren sich
paarweise, zn jedem Stfick der Oberfläche
gehört ein ihm gleichwertiges, das an den
Modellen kenntlich gemacht ist.

Drehnngsaxen und Symmetrieebenen,
die der Transformationsgruppe angehören,
können nicht in das looere des Fundamental-
bereichei dringen, sie gehören vielmehr der
Oberfläche an.

An den vorliegende d Modellen sind
mehrere Fundamentalbereiche eu einem
Baumbereich (Stein) vereinigt, der nmi ent-
weder allein znr AasfBUnEg des ganien
Baumes benutzt werden kann (wie in den
Modelleo 1—6), oder aber mit einem jt' m
symmetrisch gleichen aber nicht congmenten
tusammen dies bewirkt (T — 9). Um da«
Zusammenf&gen zu erleichtern, sind einige
Steine tn einem Block vereinigt.

Siehe des Urhebers AbhandL über Trans-
lationsgmppen in Math. Ann. Bd. 28, 29, S4

sowie Schoenflies, KrjstalUysteme und
Krystallstructur, Leipzig 1891.

Nr. 1-6. Alle Fundamentalbereiohe sind
congruent, und zwar stellen Nr. 1—6 über-
dies £Orper dar, die eigene Symmetrie be-
sitzen. Unter den Operationen der zu ihnen
gehörigen Gruppe sind daher stet« solche,
die den Bereich in sich überführen. Für
Nr. 6, der ohne eigene Symmetrie ist, ist
dies dagegen nicht der Fall

310». 311"». (XIX, 1, 2.) Sie besitaen
je eine zweizählige Symmetrieaze nnd
iwei durch sie laufende Symmetrieebenen;
sie zerfallen in je vier Teile, deren jeder
der sechste Teil eines Worfels ist, und zwar
so, dass sie je die Hälfte einer Würfeldia^
gonale als Kante enthalten. Jeder dieser
Teile kann selbst Fnndamentalbereich einer
Banmteilung sein.

812'*. (XIX, 3.) Der Bereich besltit ein«
vierz&hlige Symmetrieaxe nnd vier durch
■ie hindurchgehende Symmetrieebenen. Er
terfUlt daher in acht teils congraente,
teilt spiegelbildlich gleiche EinzelkOrper,
die selbst Fandameotalbereiche sind. Sie
repräsentieren je den zwölften Teil eine«
Würfels, und zwar einen solchen, der eine
ganie WOrfeldiagonale als Kante bHitit

xn. EiTstaJbtnictiir.

8I30. (XIX, 4.) Der Bereich besteht ana
den gleicheo tuiht EiDzelkörperD, wie Nr. 3,
ist aber so sna ihnen en^baat, dase ihm unr
eine cweiäUilige Symmetrieaze nnd xwei
durch aie gehende S^finnietrieebenen m-
konunen.

314«. (XIX, 6) Der Bereich beaiUt nnr
eine Sjnunetneebene. Sie soheidet ihn
in twei EinielkOrper, die ebenfaÜB Fiuda-
mentalbereiche darstellen können . Jeder
Ton ihnen iit wieder der «echate Teil einea
WOrfela, der Dbrigeni von deo vorhergehend
benntzten Wflrfelteilen verachiedeD iat.

31&'*. (XIX, 6.) Ein Bereich ohne eigene
Symmetrie. Er ser&llt aber noch in Ewei
congmante EinzelkOrper, die aelbat Fna-
dameotalbereicha darstellen ;iedervon ihnen
ist der driUe Teil eioea Wflrfels.

Nr. 7—9 gehören in Raamteilnngen,
deren Bereiche teils oongraent, teila spiegel-
bildlich gleich aind. Unter den Operationen
der angehSrigeD Omppe gibt es keine, die
einen Bereich in aioh flberfllhrL

Diqenigen Seitenflftohen eine« Steina, an
welche congmente Steine angrenien, sind
dnrch ein 0, di^enigen, an welche aym-
metritch gleiche Steine anstoaaen, dnrch
ein 8 kennUich gemacht. Ferner aind gleich-
wertige Flächen mit Bachataben von gleicher
Farbe veraehen.

81««. 317*. (XIX, 7, 8.) Diese Bereiche
beatehen noch ans Ewei EinnelkOrpern, deren

jeder Fandamentalbereich einer Banmteilnng
sein kann. Sie stellen wieder jeden sechiten
Teil eines WürfeU dar.

3180. (XIX, 9.) Der Bareich laiftUt nicht
mehr in Eiczelb es tandteile, die selbst Fan-
daroentalbereicbe sein kOnnen. Elr stellt la-
gleicb den einfachsten Tjpns denjenigen Be-
reiche dar, welche der mgehOrigen Omppa
von Operationen entsprechen.

31S°. (XIX, 10 a, b, c) Diese drei sind
Fnodamentalbereicbe von Baamteilongen,
die ED einer TranslationsgTDppe gehören. Sie
werden daher von lanter Paaren paralleler
Fl&ohen begrenzt. Die verschiedenen Formen
gehen durch leicht sichtliche Cmsetzangen
ineinander Ober.

320°. 321«. (XIX, 11, 12.) Sie sollen
erkennen lassen, wie mannigfache Formen
aioh ana einer Qrnndform ableiten lassen.
Äla Omndform tat ein Bereich gew&hlt,
der dnrch Zniammenfägnng von zwei Be-
reichen Nr. 4 entsteht. Nr. LI aeigt eine
zweite Halbierung dieaes Körpers, Nr. 12
eine ZerfUlnng in vier oougment« Beatand-
teile, die von den bisher benntaten ver-
schieden sind. Ans ihnen lassen sich dnrch
Znaammenaetzimg wieder nene Formen ab-
leiten, u. B. w.

(Blöcke ca. 13x15x10 cm.)

(Einzelbereiche ca. 6x6x8 cm.)

Qanze Serie Mk. 140.—.

130

Xin. Modell-Unters&tze uod Stative.

XIII. Modell - Untersätze und Stative.

h) rntersBtze fftr Gipsmodelle.

Um den Modellen in rnnder Form, z. B.
den Engeln nnd Ellipsoiden gute Unterlagen
zn geben, die sie vor dem Herabrollen
schützen, sind Modell-Untersätze ans Holz,
schwarz gebeizt, in rnnder nnd ovaler Form
zn beziehen nnd können für folgende Modelle
passend geliefert werden: Seriel, Nr.4u.5;
Serie III, Nr. 1—4; Serie V, Nr. 2 a, b, 5 c
und 7 a, b; Serie VI, Nr. la, b, 2 nnd 3;
Serie X, Nr. 3, 7, 12 a, b, c nnd 13 ;
Serie XVII, Nr. 2 a, b, 5 a, b, c, 6 a, b, c;
Serie XXIII, Nr. lau. b, oder nach der
laufenden Nummer geordnet zu Nr. 1—5,
83, 162, 163, 167-169, 193—200, 202,
274-279, 300-303.

Preis per Stück je nach Grösse Mk. — .40
bis Mk. 1.20.

b) bestelle fftr Fadenmodelle.

1) Drelfuss ans Draht zum Aufh&ngen
des Modells Nr. 9 (XXIII, 6) ; die unteren
Buge des Umdreh - Hyperboloids werden
dabei durch zwei Klammem in ihrer Lage
festgehalten Mk. — .60.

2) Gestelle am Draht als Untersatz für
Nr. 27, 28, 69,70, (XXIII, 8au.b, 9au.b)

h Mk. —.30.

c) Gestelle fftr die Cartonmodelle
der Fischen 2. Ordnang.

1) Einfache Gabel aus vergoldetem Mes-
singdraht mit Holzfuss zu Nr. 6, 7,
21, 26, 37 li Mk. 1.50.

2) Doppelgabel zu Nr. 13 . Mk. 2.—.

3) Holzteller zum Aufstellen des hyper-
bolischen Paraboloid8Nr.2ö. Mk. 1. — .

Preis der Untersätze fQr die ganze
Carton- Serie 5 Stück Nr. 1, je 1 Stück
von Nr. 2 und 3 Mk. 10.50.

Die übrigen Unters&tze und Gestelle sind gleich bei den
betreffenden Modellen aufgeführt.

3 2044 058 124 694

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